Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7138 / 2217
↖ ↑ ↗
← N 78.451027°
W 23.159180°		 ← 489.16 m → N 78.451027°
W 23.137207°		 →
↑
489.23 m
↓
↑
489.23 m
↓
N 78.446627°
W 23.159180°		 ← 489.34 m →
239 355 m²		 N 78.446627°
W 23.137207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435699462890625 y=0.135345458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435699462890625 × 214)
    floor (0.435699462890625 × 16384)
    floor (7138.5)     		tx = 7138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135345458984375 × 214)
    floor (0.135345458984375 × 16384)
    floor (2217.5)     		ty = 2217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7138 / 2217 ti = "14/7138/2217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7138/2217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7138 ÷ 214
    7138 ÷ 16384     		x = 0.4356689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2217 ÷ 214
    2217 ÷ 16384     		y = 0.13531494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4356689453125 × 2 - 1) × π
    -0.128662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40420394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13531494140625 × 2 - 1) × π
    0.7293701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29138380183868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40420394} λ = -0.40420394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29138380183868))-π/2
    2×atan(9.88861209725223)-π/2
    2×1.47001252581773-π/2
    2.94002505163546-1.57079632675     		φ = 1.36922872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40420394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.159180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36922872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.451027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7138 KachelY 2217 -0.40420394 1.36922872 -23.159180 78.451027
    Oben rechts KachelX + 1 7139 KachelY 2217 -0.40382044 1.36922872 -23.137207 78.451027
    Unten links KachelX 7138 KachelY + 1 2218 -0.40420394 1.36915193 -23.159180 78.446627
    Unten rechts KachelX + 1 7139 KachelY + 1 2218 -0.40382044 1.36915193 -23.137207 78.446627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36922872-1.36915193) × R
    7.67900000000488e-05 × 6371000     		dl = 489.229090000311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36922872-1.36915193) × R
    7.67900000000488e-05 × 6371000     		dr = 489.229090000311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40420394--0.40382044) × cos(1.36922872) × R
    0.000383499999999981 × 0.200205445088628 × 6371000     		do = 489.157659567952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40420394--0.40382044) × cos(1.36915193) × R
    0.000383499999999981 × 0.200280679803206 × 6371000     		du = 489.341478928533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36922872)-sin(1.36915193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200205445088628-0.200280679803206)×R²
    abs(-0.40382044--0.40420394)×7.52347145776266e-05×R²
    0.000383499999999981×7.52347145776266e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.52347145776266e-05×40589641000000     		ar = 239355.121664229m²