Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71378 / 62666
↖ ↑ ↗
← N  7.857940°
E 16.045532°		 ← 302.49 m → N  7.857940°
E 16.048279°		 →
↑
302.56 m
↓
↑
302.56 m
↓
N  7.855219°
E 16.045532°		 ← 302.50 m →
91 523 m²		 N  7.855219°
E 16.048279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544574737548828 y=0.478107452392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544574737548828 × 217)
    floor (0.544574737548828 × 131072)
    floor (71378.5)     		tx = 71378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478107452392578 × 217)
    floor (0.478107452392578 × 131072)
    floor (62666.5)     		ty = 62666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71378 / 62666 ti = "17/71378/62666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71378/62666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71378 ÷ 217
    71378 ÷ 131072     		x = 0.544570922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62666 ÷ 217
    62666 ÷ 131072     		y = 0.478103637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544570922851562 × 2 - 1) × π
    0.089141845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28004737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478103637695312 × 2 - 1) × π
    0.043792724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.137578901909561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28004737} λ = 0.28004737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.137578901909561))-π/2
    2×atan(1.14749224172938)-π/2
    2×0.853971628352287-π/2
    1.70794325670457-1.57079632675     		φ = 0.13714693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28004737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.045532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13714693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.857940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71378 KachelY 62666 0.28004737 0.13714693 16.045532 7.857940
    Oben rechts KachelX + 1 71379 KachelY 62666 0.28009530 0.13714693 16.048279 7.857940
    Unten links KachelX 71378 KachelY + 1 62667 0.28004737 0.13709944 16.045532 7.855219
    Unten rechts KachelX + 1 71379 KachelY + 1 62667 0.28009530 0.13709944 16.048279 7.855219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13714693-0.13709944) × R
    4.74900000000111e-05 × 6371000     		dl = 302.558790000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13714693-0.13709944) × R
    4.74900000000111e-05 × 6371000     		dr = 302.558790000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28004737-0.28009530) × cos(0.13714693) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.990610091766068 × 6371000     		do = 302.494708560008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28004737-0.28009530) × cos(0.13709944) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.990616583358092 × 6371000     		du = 302.496690845726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13714693)-sin(0.13709944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990610091766068-0.990616583358092)×R²
    abs(0.28009530-0.28004737)×6.49159202381622e-06×R²
    4.79299999999738e-05×6.49159202381622e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×6.49159202381622e-06×40589641000000     		ar = 91522.7328995149m²