Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71372 / 62676
↖ ↑ ↗
← N  7.830732°
E 16.029053°		 ← 302.51 m → N  7.830732°
E 16.031799°		 →
↑
302.56 m
↓
↑
302.56 m
↓
N  7.828011°
E 16.029053°		 ← 302.52 m →
91 529 m²		 N  7.828011°
E 16.031799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544528961181641 y=0.478183746337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544528961181641 × 217)
    floor (0.544528961181641 × 131072)
    floor (71372.5)     		tx = 71372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478183746337891 × 217)
    floor (0.478183746337891 × 131072)
    floor (62676.5)     		ty = 62676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71372 / 62676 ti = "17/71372/62676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71372/62676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71372 ÷ 217
    71372 ÷ 131072     		x = 0.544525146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62676 ÷ 217
    62676 ÷ 131072     		y = 0.478179931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544525146484375 × 2 - 1) × π
    0.08905029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27975975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478179931640625 × 2 - 1) × π
    0.04364013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.137099532913361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27975975} λ = 0.27975975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.137099532913361))-π/2
    2×atan(1.14694230134803)-π/2
    2×0.8537341866979-π/2
    1.7074683733958-1.57079632675     		φ = 0.13667205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27975975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.029053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13667205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.830732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71372 KachelY 62676 0.27975975 0.13667205 16.029053 7.830732
    Oben rechts KachelX + 1 71373 KachelY 62676 0.27980768 0.13667205 16.031799 7.830732
    Unten links KachelX 71372 KachelY + 1 62677 0.27975975 0.13662456 16.029053 7.828011
    Unten rechts KachelX + 1 71373 KachelY + 1 62677 0.27980768 0.13662456 16.031799 7.828011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13667205-0.13662456) × R
    4.74899999999834e-05 × 6371000     		dl = 302.558789999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13667205-0.13662456) × R
    4.74899999999834e-05 × 6371000     		dr = 302.558789999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27975975-0.27980768) × cos(0.13667205) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.990674904423417 × 6371000     		do = 302.514499884976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27975975-0.27980768) × cos(0.13662456) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.990681373674347 × 6371000     		du = 302.516475348572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13667205)-sin(0.13662456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990674904423417-0.990681373674347)×R²
    abs(0.27980768-0.27975975)×6.46925093006345e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.46925093006345e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.46925093006345e-06×40589641000000     		ar = 91528.7199067766m²