Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71371 / 62678
↖ ↑ ↗
← N  7.825290°
E 16.026306°		 ← 302.58 m → N  7.825290°
E 16.029053°		 →
↑
302.56 m
↓
↑
302.56 m
↓
N  7.822569°
E 16.026306°		 ← 302.58 m →
91 549 m²		 N  7.822569°
E 16.029053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544521331787109 y=0.478199005126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544521331787109 × 217)
    floor (0.544521331787109 × 131072)
    floor (71371.5)     		tx = 71371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478199005126953 × 217)
    floor (0.478199005126953 × 131072)
    floor (62678.5)     		ty = 62678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71371 / 62678 ti = "17/71371/62678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71371/62678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71371 ÷ 217
    71371 ÷ 131072     		x = 0.544517517089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62678 ÷ 217
    62678 ÷ 131072     		y = 0.478195190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544517517089844 × 2 - 1) × π
    0.0890350341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27971181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478195190429688 × 2 - 1) × π
    0.043609619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.13700365911412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27971181} λ = 0.27971181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.13700365911412))-π/2
    2×atan(1.14683234490315)-π/2
    2×0.853686696504329-π/2
    1.70737339300866-1.57079632675     		φ = 0.13657707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27971181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.026306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13657707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.825290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71371 KachelY 62678 0.27971181 0.13657707 16.026306 7.825290
    Oben rechts KachelX + 1 71372 KachelY 62678 0.27975975 0.13657707 16.029053 7.825290
    Unten links KachelX 71371 KachelY + 1 62679 0.27971181 0.13652958 16.026306 7.822569
    Unten rechts KachelX + 1 71372 KachelY + 1 62679 0.27975975 0.13652958 16.029053 7.822569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13657707-0.13652958) × R
    4.74899999999834e-05 × 6371000     		dl = 302.558789999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13657707-0.13652958) × R
    4.74899999999834e-05 × 6371000     		dr = 302.558789999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27971181-0.27975975) × cos(0.13657707) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.990687840690993 × 6371000     		do = 302.58156685185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27971181-0.27975975) × cos(0.13652958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.990694305473341 × 6371000     		du = 302.583541362783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13657707)-sin(0.13652958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990687840690993-0.990694305473341)×R²
    abs(0.27975975-0.27971181)×6.46478234778147e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.46478234778147e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.46478234778147e-06×40589641000000     		ar = 91549.0114630155m²