Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7137 / 8109
↖ ↑ ↗
← N 79.256658°
W140.795288°		 ← 113.87 m → N 79.256658°
W140.789795°		 →
↑
113.91 m
↓
↑
113.91 m
↓
N 79.255634°
W140.795288°		 ← 113.88 m →
12 972 m²		 N 79.255634°
W140.789795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108909606933594 y=0.123741149902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108909606933594 × 216)
    floor (0.108909606933594 × 65536)
    floor (7137.5)     		tx = 7137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123741149902344 × 216)
    floor (0.123741149902344 × 65536)
    floor (8109.5)     		ty = 8109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7137 / 8109 ti = "16/7137/8109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7137/8109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7137 ÷ 216
    7137 ÷ 65536     		x = 0.108901977539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8109 ÷ 216
    8109 ÷ 65536     		y = 0.123733520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108901977539062 × 2 - 1) × π
    -0.782196044921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.45734135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123733520507812 × 2 - 1) × π
    0.752532958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36415201546193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45734135} λ = -2.45734135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36415201546193))-π/2
    2×atan(10.6350166630345)-π/2
    2×1.47704298190274-π/2
    2.95408596380549-1.57079632675     		φ = 1.38328964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45734135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.795288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38328964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.256658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7137 KachelY 8109 -2.45734135 1.38328964 -140.795288 79.256658
    Oben rechts KachelX + 1 7138 KachelY 8109 -2.45724547 1.38328964 -140.789795 79.256658
    Unten links KachelX 7137 KachelY + 1 8110 -2.45734135 1.38327176 -140.795288 79.255634
    Unten rechts KachelX + 1 7138 KachelY + 1 8110 -2.45724547 1.38327176 -140.789795 79.255634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38328964-1.38327176) × R
    1.78800000001367e-05 × 6371000     		dl = 113.913480000871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38328964-1.38327176) × R
    1.78800000001367e-05 × 6371000     		dr = 113.913480000871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45734135--2.45724547) × cos(1.38328964) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.186409866355638 × 6371000     		do = 113.868742749869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45734135--2.45724547) × cos(1.38327176) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.186427432926392 × 6371000     		du = 113.879473315613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38328964)-sin(1.38327176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186409866355638-0.186427432926392)×R²
    abs(-2.45724547--2.45734135)×1.75665707536077e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.75665707536077e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.75665707536077e-05×40589641000000     		ar = 12971.7959285792m²