Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7137 / 5281
↖ ↑ ↗
← N 53.735716°
W 23.181152°		 ← 1 445.19 m → N 53.735716°
W 23.159180°		 →
↑
1 445.45 m
↓
↑
1 445.45 m
↓
N 53.722717°
W 23.181152°		 ← 1 445.63 m →
2 089 273 m²		 N 53.722717°
W 23.159180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435638427734375 y=0.322357177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435638427734375 × 214)
    floor (0.435638427734375 × 16384)
    floor (7137.5)     		tx = 7137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322357177734375 × 214)
    floor (0.322357177734375 × 16384)
    floor (5281.5)     		ty = 5281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7137 / 5281 ti = "14/7137/5281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7137/5281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7137 ÷ 214
    7137 ÷ 16384     		x = 0.43560791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5281 ÷ 214
    5281 ÷ 16384     		y = 0.32232666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43560791015625 × 2 - 1) × π
    -0.1287841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40458743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32232666015625 × 2 - 1) × π
    0.3553466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11635451835187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40458743} λ = -0.40458743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11635451835187))-π/2
    2×atan(3.05370167406201)-π/2
    2×1.25433074622386-π/2
    2.50866149244773-1.57079632675     		φ = 0.93786517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40458743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.181152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93786517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.735716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7137 KachelY 5281 -0.40458743 0.93786517 -23.181152 53.735716
    Oben rechts KachelX + 1 7138 KachelY 5281 -0.40420394 0.93786517 -23.159180 53.735716
    Unten links KachelX 7137 KachelY + 1 5282 -0.40458743 0.93763829 -23.181152 53.722717
    Unten rechts KachelX + 1 7138 KachelY + 1 5282 -0.40420394 0.93763829 -23.159180 53.722717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93786517-0.93763829) × R
    0.00022688000000004 × 6371000     		dl = 1445.45248000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93786517-0.93763829) × R
    0.00022688000000004 × 6371000     		dr = 1445.45248000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40458743--0.40420394) × cos(0.93786517) × R
    0.000383490000000042 × 0.591510679002371 × 6371000     		do = 1445.18763938169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40458743--0.40420394) × cos(0.93763829) × R
    0.000383490000000042 × 0.591693596477495 × 6371000     		du = 1445.63454606226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93786517)-sin(0.93763829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591510679002371-0.591693596477495)×R²
    abs(-0.40420394--0.40458743)×0.000182917475123889×R²
    0.000383490000000042×0.000182917475123889×6371000²
    0.000383490000000042×0.000182917475123889×40589641000000     		ar = 2089273.05755676m²