Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7137 / 4769
↖ ↑ ↗
← N 59.877912°
W 23.181152°		 ← 1 226.11 m → N 59.877912°
W 23.159180°		 →
↑
1 226.35 m
↓
↑
1 226.35 m
↓
N 59.866883°
W 23.181152°		 ← 1 226.52 m →
1 503 898 m²		 N 59.866883°
W 23.159180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435638427734375 y=0.291107177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435638427734375 × 214)
    floor (0.435638427734375 × 16384)
    floor (7137.5)     		tx = 7137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291107177734375 × 214)
    floor (0.291107177734375 × 16384)
    floor (4769.5)     		ty = 4769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7137 / 4769 ti = "14/7137/4769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7137/4769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7137 ÷ 214
    7137 ÷ 16384     		x = 0.43560791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4769 ÷ 214
    4769 ÷ 16384     		y = 0.29107666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43560791015625 × 2 - 1) × π
    -0.1287841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40458743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29107666015625 × 2 - 1) × π
    0.4178466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.31270405919562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40458743} λ = -0.40458743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31270405919562))-π/2
    2×atan(3.71620898719128)-π/2
    2×1.30793151910544-π/2
    2.61586303821088-1.57079632675     		φ = 1.04506671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40458743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.181152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04506671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.877912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7137 KachelY 4769 -0.40458743 1.04506671 -23.181152 59.877912
    Oben rechts KachelX + 1 7138 KachelY 4769 -0.40420394 1.04506671 -23.159180 59.877912
    Unten links KachelX 7137 KachelY + 1 4770 -0.40458743 1.04487422 -23.181152 59.866883
    Unten rechts KachelX + 1 7138 KachelY + 1 4770 -0.40420394 1.04487422 -23.159180 59.866883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04506671-1.04487422) × R
    0.000192489999999879 × 6371000     		dl = 1226.35378999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04506671-1.04487422) × R
    0.000192489999999879 × 6371000     		dr = 1226.35378999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40458743--0.40420394) × cos(1.04506671) × R
    0.000383490000000042 × 0.501844226090589 × 6371000     		do = 1226.11323546077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40458743--0.40420394) × cos(1.04487422) × R
    0.000383490000000042 × 0.502010712561161 × 6371000     		du = 1226.519997668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04506671)-sin(1.04487422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501844226090589-0.502010712561161)×R²
    abs(-0.40420394--0.40458743)×0.000166486470571936×R²
    0.000383490000000042×0.000166486470571936×6371000²
    0.000383490000000042×0.000166486470571936×40589641000000     		ar = 1503898.03510621m²