Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7137 / 4765
↖ ↑ ↗
← N 59.921990°
W 23.181152°		 ← 1 224.49 m → N 59.921990°
W 23.159180°		 →
↑
1 224.70 m
↓
↑
1 224.70 m
↓
N 59.910976°
W 23.181152°		 ← 1 224.89 m →
1 499 875 m²		 N 59.910976°
W 23.159180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435638427734375 y=0.290863037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435638427734375 × 214)
    floor (0.435638427734375 × 16384)
    floor (7137.5)     		tx = 7137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290863037109375 × 214)
    floor (0.290863037109375 × 16384)
    floor (4765.5)     		ty = 4765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7137 / 4765 ti = "14/7137/4765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7137/4765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7137 ÷ 214
    7137 ÷ 16384     		x = 0.43560791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4765 ÷ 214
    4765 ÷ 16384     		y = 0.29083251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43560791015625 × 2 - 1) × π
    -0.1287841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40458743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29083251953125 × 2 - 1) × π
    0.4183349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.31423803998346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40458743} λ = -0.40458743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31423803998346))-π/2
    2×atan(3.72191395491799)-π/2
    2×1.30831617352543-π/2
    2.61663234705086-1.57079632675     		φ = 1.04583602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40458743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.181152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04583602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.921990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7137 KachelY 4765 -0.40458743 1.04583602 -23.181152 59.921990
    Oben rechts KachelX + 1 7138 KachelY 4765 -0.40420394 1.04583602 -23.159180 59.921990
    Unten links KachelX 7137 KachelY + 1 4766 -0.40458743 1.04564379 -23.181152 59.910976
    Unten rechts KachelX + 1 7138 KachelY + 1 4766 -0.40420394 1.04564379 -23.159180 59.910976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04583602-1.04564379) × R
    0.000192230000000126 × 6371000     		dl = 1224.69733000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04583602-1.04564379) × R
    0.000192230000000126 × 6371000     		dr = 1224.69733000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40458743--0.40420394) × cos(1.04583602) × R
    0.000383490000000042 × 0.501178656798268 × 6371000     		do = 1224.487106722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40458743--0.40420394) × cos(1.04564379) × R
    0.000383490000000042 × 0.501344992582908 × 6371000     		du = 1224.89350077114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04583602)-sin(1.04564379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501178656798268-0.501344992582908)×R²
    abs(-0.40420394--0.40458743)×0.000166335784640426×R²
    0.000383490000000042×0.000166335784640426×6371000²
    0.000383490000000042×0.000166335784640426×40589641000000     		ar = 1499874.94969612m²