Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71364 / 62898
↖ ↑ ↗
← N  7.226249°
E 16.007080°		 ← 303 m → N  7.226249°
E 16.009827°		 →
↑
302.94 m
↓
↑
302.94 m
↓
N  7.223525°
E 16.007080°		 ← 303 m →
91 791 m²		 N  7.223525°
E 16.009827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544467926025391 y=0.479877471923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544467926025391 × 217)
    floor (0.544467926025391 × 131072)
    floor (71364.5)     		tx = 71364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479877471923828 × 217)
    floor (0.479877471923828 × 131072)
    floor (62898.5)     		ty = 62898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71364 / 62898 ti = "17/71364/62898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71364/62898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71364 ÷ 217
    71364 ÷ 131072     		x = 0.544464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62898 ÷ 217
    62898 ÷ 131072     		y = 0.479873657226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544464111328125 × 2 - 1) × π
    0.08892822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27937625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479873657226562 × 2 - 1) × π
    0.040252685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.126457541197708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27937625} λ = 0.27937625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.126457541197708))-π/2
    2×atan(1.1348012678505)-π/2
    2×0.848459084023754-π/2
    1.69691816804751-1.57079632675     		φ = 0.12612184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27937625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.007080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12612184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.226249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71364 KachelY 62898 0.27937625 0.12612184 16.007080 7.226249
    Oben rechts KachelX + 1 71365 KachelY 62898 0.27942419 0.12612184 16.009827 7.226249
    Unten links KachelX 71364 KachelY + 1 62899 0.27937625 0.12607429 16.007080 7.223525
    Unten rechts KachelX + 1 71365 KachelY + 1 62899 0.27942419 0.12607429 16.009827 7.223525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12612184-0.12607429) × R
    4.75500000000073e-05 × 6371000     		dl = 302.941050000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12612184-0.12607429) × R
    4.75500000000073e-05 × 6371000     		dr = 302.941050000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27937625-0.27942419) × cos(0.12612184) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.992057177803053 × 6371000     		do = 302.999797652961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27937625-0.27942419) × cos(0.12607429) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.992063157888649 × 6371000     		du = 303.00162412503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12612184)-sin(0.12607429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992057177803053-0.992063157888649)×R²
    abs(0.27942419-0.27937625)×5.98008559515861e-06×R²
    4.79400000000241e-05×5.98008559515861e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×5.98008559515861e-06×40589641000000     		ar = 91791.3535247427m²