Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71362 / 62880
↖ ↑ ↗
← N  7.275293°
E 16.001587°		 ← 302.90 m → N  7.275293°
E 16.004333°		 →
↑
303 m
↓
↑
303 m
↓
N  7.272568°
E 16.001587°		 ← 302.91 m →
91 782 m²		 N  7.272568°
E 16.004333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544452667236328 y=0.479740142822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544452667236328 × 217)
    floor (0.544452667236328 × 131072)
    floor (71362.5)     		tx = 71362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479740142822266 × 217)
    floor (0.479740142822266 × 131072)
    floor (62880.5)     		ty = 62880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71362 / 62880 ti = "17/71362/62880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71362/62880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71362 ÷ 217
    71362 ÷ 131072     		x = 0.544448852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62880 ÷ 217
    62880 ÷ 131072     		y = 0.479736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544448852539062 × 2 - 1) × π
    0.088897705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27928038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479736328125 × 2 - 1) × π
    0.04052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.127320405390869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27928038} λ = 0.27928038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.127320405390869))-π/2
    2×atan(1.13578086980183)-π/2
    2×0.848887066053046-π/2
    1.69777413210609-1.57079632675     		φ = 0.12697781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27928038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.001587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12697781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.275293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71362 KachelY 62880 0.27928038 0.12697781 16.001587 7.275293
    Oben rechts KachelX + 1 71363 KachelY 62880 0.27932831 0.12697781 16.004333 7.275293
    Unten links KachelX 71362 KachelY + 1 62881 0.27928038 0.12693025 16.001587 7.272568
    Unten rechts KachelX + 1 71363 KachelY + 1 62881 0.27932831 0.12693025 16.004333 7.272568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12697781-0.12693025) × R
    4.7560000000002e-05 × 6371000     		dl = 303.004760000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12697781-0.12693025) × R
    4.7560000000002e-05 × 6371000     		dr = 303.004760000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27928038-0.27932831) × cos(0.12697781) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.991949143850407 × 6371000     		do = 302.903604223108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27928038-0.27932831) × cos(0.12693025) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.991955165577915 × 6371000     		du = 302.905443030044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12697781)-sin(0.12693025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991949143850407-0.991955165577915)×R²
    abs(0.27932831-0.27928038)×6.02172750785446e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.02172750785446e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.02172750785446e-06×40589641000000     		ar = 91781.5125016476m²