Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71361 / 62657
↖ ↑ ↗
← N  7.882427°
E 15.998840°		 ← 302.54 m → N  7.882427°
E 16.001587°		 →
↑
302.56 m
↓
↑
302.56 m
↓
N  7.879706°
E 15.998840°		 ← 302.54 m →
91 536 m²		 N  7.879706°
E 16.001587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544445037841797 y=0.478038787841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544445037841797 × 217)
    floor (0.544445037841797 × 131072)
    floor (71361.5)     		tx = 71361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478038787841797 × 217)
    floor (0.478038787841797 × 131072)
    floor (62657.5)     		ty = 62657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71361 / 62657 ti = "17/71361/62657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71361/62657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71361 ÷ 217
    71361 ÷ 131072     		x = 0.544441223144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62657 ÷ 217
    62657 ÷ 131072     		y = 0.478034973144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544441223144531 × 2 - 1) × π
    0.0888824462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27923244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478034973144531 × 2 - 1) × π
    0.0439300537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.138010334006142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27923244} λ = 0.27923244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.138010334006142))-π/2
    2×atan(1.14798741352186)-π/2
    2×0.854185312538112-π/2
    1.70837062507622-1.57079632675     		φ = 0.13757430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27923244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.998840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13757430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.882427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71361 KachelY 62657 0.27923244 0.13757430 15.998840 7.882427
    Oben rechts KachelX + 1 71362 KachelY 62657 0.27928038 0.13757430 16.001587 7.882427
    Unten links KachelX 71361 KachelY + 1 62658 0.27923244 0.13752681 15.998840 7.879706
    Unten rechts KachelX + 1 71362 KachelY + 1 62658 0.27928038 0.13752681 16.001587 7.879706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13757430-0.13752681) × R
    4.74900000000111e-05 × 6371000     		dl = 302.558790000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13757430-0.13752681) × R
    4.74900000000111e-05 × 6371000     		dr = 302.558790000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27923244-0.27928038) × cos(0.13757430) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.990551572389706 × 6371000     		do = 302.539947005091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27923244-0.27928038) × cos(0.13752681) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.990558084086428 × 6371000     		du = 302.541935844881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13757430)-sin(0.13752681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990551572389706-0.990558084086428)×R²
    abs(0.27928038-0.27923244)×6.51169672183372e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.51169672183372e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.51169672183372e-06×40589641000000     		ar = 91536.4211801841m²