Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7136 / 5286
↖ ↑ ↗
← N 53.670680°
W 23.203125°		 ← 1 447.46 m → N 53.670680°
W 23.181152°		 →
↑
1 447.68 m
↓
↑
1 447.68 m
↓
N 53.657661°
W 23.203125°		 ← 1 447.91 m →
2 095 787 m²		 N 53.657661°
W 23.181152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435577392578125 y=0.322662353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435577392578125 × 214)
    floor (0.435577392578125 × 16384)
    floor (7136.5)     		tx = 7136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322662353515625 × 214)
    floor (0.322662353515625 × 16384)
    floor (5286.5)     		ty = 5286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7136 / 5286 ti = "14/7136/5286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7136/5286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7136 ÷ 214
    7136 ÷ 16384     		x = 0.435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5286 ÷ 214
    5286 ÷ 16384     		y = 0.3226318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435546875 × 2 - 1) × π
    -0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3226318359375 × 2 - 1) × π
    0.354736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11443704236707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40497093} λ = -0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11443704236707))-π/2
    2×atan(3.04785188464494)-π/2
    2×1.25376320396852-π/2
    2.50752640793703-1.57079632675     		φ = 0.93673008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93673008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.670680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7136 KachelY 5286 -0.40497093 0.93673008 -23.203125 53.670680
    Oben rechts KachelX + 1 7137 KachelY 5286 -0.40458743 0.93673008 -23.181152 53.670680
    Unten links KachelX 7136 KachelY + 1 5287 -0.40497093 0.93650285 -23.203125 53.657661
    Unten rechts KachelX + 1 7137 KachelY + 1 5287 -0.40458743 0.93650285 -23.181152 53.657661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93673008-0.93650285) × R
    0.000227230000000023 × 6371000     		dl = 1447.68233000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93673008-0.93650285) × R
    0.000227230000000023 × 6371000     		dr = 1447.68233000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40497093--0.40458743) × cos(0.93673008) × R
    0.000383499999999981 × 0.592425517593882 × 6371000     		do = 1447.46052998843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40497093--0.40458743) × cos(0.93650285) × R
    0.000383499999999981 × 0.592608564518106 × 6371000     		du = 1447.90776460288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93673008)-sin(0.93650285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592425517593882-0.592608564518106)×R²
    abs(-0.40458743--0.40497093)×0.000183046924223662×R²
    0.000383499999999981×0.000183046924223662×6371000²
    0.000383499999999981×0.000183046924223662×40589641000000     		ar = 2095786.76847944m²