Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71356 / 76236
↖ ↑ ↗
← S 28.178560°
E 15.985108°		 ← 269.17 m → S 28.178560°
E 15.987854°		 →
↑
269.17 m
↓
↑
269.17 m
↓
S 28.180981°
E 15.985108°		 ← 269.16 m →
72 453 m²		 S 28.180981°
E 15.987854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544406890869141 y=0.581638336181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544406890869141 × 217)
    floor (0.544406890869141 × 131072)
    floor (71356.5)     		tx = 71356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581638336181641 × 217)
    floor (0.581638336181641 × 131072)
    floor (76236.5)     		ty = 76236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71356 / 76236 ti = "17/71356/76236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71356/76236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71356 ÷ 217
    71356 ÷ 131072     		x = 0.544403076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76236 ÷ 217
    76236 ÷ 131072     		y = 0.581634521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544403076171875 × 2 - 1) × π
    0.08880615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27899276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581634521484375 × 2 - 1) × π
    -0.16326904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.512924825934601
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27899276} λ = 0.27899276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.512924825934601))-π/2
    2×atan(0.598741799769198)-π/2
    2×0.539493839482783-π/2
    1.07898767896557-1.57079632675     		φ = -0.49180865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27899276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.985108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49180865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.178560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71356 KachelY 76236 0.27899276 -0.49180865 15.985108 -28.178560
    Oben rechts KachelX + 1 71357 KachelY 76236 0.27904069 -0.49180865 15.987854 -28.178560
    Unten links KachelX 71356 KachelY + 1 76237 0.27899276 -0.49185090 15.985108 -28.180981
    Unten rechts KachelX + 1 71357 KachelY + 1 76237 0.27904069 -0.49185090 15.987854 -28.180981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49180865--0.49185090) × R
    4.22499999999659e-05 × 6371000     		dl = 269.174749999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49180865--0.49185090) × R
    4.22499999999659e-05 × 6371000     		dr = 269.174749999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27899276-0.27904069) × cos(-0.49180865) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.881480218411786 × 6371000     		do = 269.170588898919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27899276-0.27904069) × cos(-0.49185090) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.881460266289954 × 6371000     		du = 269.164496278494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49180865)-sin(-0.49185090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881480218411786-0.881460266289954)×R²
    abs(0.27904069-0.27899276)×1.99521218322563e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.99521218322563e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.99521218322563e-05×40589641000000     		ar = 72453.1059952035m²