Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7135 / 9206
↖ ↑ ↗
← N 78.073347°
W140.806275°		 ← 126.24 m → N 78.073347°
W140.800781°		 →
↑
126.27 m
↓
↑
126.27 m
↓
N 78.072211°
W140.806275°		 ← 126.25 m →
15 941 m²		 N 78.072211°
W140.800781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108879089355469 y=0.140480041503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108879089355469 × 216)
    floor (0.108879089355469 × 65536)
    floor (7135.5)     		tx = 7135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140480041503906 × 216)
    floor (0.140480041503906 × 65536)
    floor (9206.5)     		ty = 9206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7135 / 9206 ti = "16/7135/9206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7135/9206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7135 ÷ 216
    7135 ÷ 65536     		x = 0.108871459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9206 ÷ 216
    9206 ÷ 65536     		y = 0.140472412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108871459960938 × 2 - 1) × π
    -0.782257080078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45753310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140472412109375 × 2 - 1) × π
    0.71905517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25897845769553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45753310} λ = -2.45753310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25897845769553))-π/2
    2×atan(9.5733046342808)-π/2
    2×1.46671664193771-π/2
    2.93343328387542-1.57079632675     		φ = 1.36263696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45753310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.806275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36263696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.073347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7135 KachelY 9206 -2.45753310 1.36263696 -140.806275 78.073347
    Oben rechts KachelX + 1 7136 KachelY 9206 -2.45743722 1.36263696 -140.800781 78.073347
    Unten links KachelX 7135 KachelY + 1 9207 -2.45753310 1.36261714 -140.806275 78.072211
    Unten rechts KachelX + 1 7136 KachelY + 1 9207 -2.45743722 1.36261714 -140.800781 78.072211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36263696-1.36261714) × R
    1.98199999998927e-05 × 6371000     		dl = 126.273219999316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36263696-1.36261714) × R
    1.98199999998927e-05 × 6371000     		dr = 126.273219999316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45753310--2.45743722) × cos(1.36263696) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.206659351561594 × 6371000     		do = 126.238170757157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45753310--2.45743722) × cos(1.36261714) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.206678743665789 × 6371000     		du = 126.250016452705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36263696)-sin(1.36261714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206659351561594-0.206678743665789)×R²
    abs(-2.45743722--2.45753310)×1.93921041947431e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.93921041947431e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.93921041947431e-05×40589641000000     		ar = 15941.2482057416m²