Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7135 / 4766
↖ ↑ ↗
← N 59.910976°
W 23.225097°		 ← 1 224.89 m → N 59.910976°
W 23.203125°		 →
↑
1 225.14 m
↓
↑
1 225.14 m
↓
N 59.899958°
W 23.225097°		 ← 1 225.30 m →
1 500 919 m²		 N 59.899958°
W 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435516357421875 y=0.290924072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435516357421875 × 214)
    floor (0.435516357421875 × 16384)
    floor (7135.5)     		tx = 7135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290924072265625 × 214)
    floor (0.290924072265625 × 16384)
    floor (4766.5)     		ty = 4766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7135 / 4766 ti = "14/7135/4766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7135/4766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7135 ÷ 214
    7135 ÷ 16384     		x = 0.43548583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4766 ÷ 214
    4766 ÷ 16384     		y = 0.2908935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43548583984375 × 2 - 1) × π
    -0.1290283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40535442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2908935546875 × 2 - 1) × π
    0.418212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.3138545447865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40535442} λ = -0.40535442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3138545447865))-π/2
    2×atan(3.72048689244607)-π/2
    2×1.30822005777484-π/2
    2.61644011554968-1.57079632675     		φ = 1.04564379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40535442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.225097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04564379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.910976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7135 KachelY 4766 -0.40535442 1.04564379 -23.225097 59.910976
    Oben rechts KachelX + 1 7136 KachelY 4766 -0.40497093 1.04564379 -23.203125 59.910976
    Unten links KachelX 7135 KachelY + 1 4767 -0.40535442 1.04545149 -23.225097 59.899958
    Unten rechts KachelX + 1 7136 KachelY + 1 4767 -0.40497093 1.04545149 -23.203125 59.899958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04564379-1.04545149) × R
    0.000192299999999923 × 6371000     		dl = 1225.14329999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04564379-1.04545149) × R
    0.000192299999999923 × 6371000     		dr = 1225.14329999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40535442--0.40497093) × cos(1.04564379) × R
    0.000383489999999986 × 0.501344992582908 × 6371000     		do = 1224.89350077096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40535442--0.40497093) × cos(1.04545149) × R
    0.000383489999999986 × 0.501511370402236 × 6371000     		du = 1225.29999751987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04564379)-sin(1.04545149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501344992582908-0.501511370402236)×R²
    abs(-0.40497093--0.40535442)×0.000166377819328045×R²
    0.000383489999999986×0.000166377819328045×6371000²
    0.000383489999999986×0.000166377819328045×40589641000000     		ar = 1500919.07869208m²