Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7135 / 3678
↖ ↑ ↗
← N 69.915214°
W 23.225097°		 ← 839.03 m → N 69.915214°
W 23.203125°		 →
↑
839.19 m
↓
↑
839.19 m
↓
N 69.907667°
W 23.225097°		 ← 839.33 m →
704 227 m²		 N 69.907667°
W 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435516357421875 y=0.224517822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435516357421875 × 214)
    floor (0.435516357421875 × 16384)
    floor (7135.5)     		tx = 7135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224517822265625 × 214)
    floor (0.224517822265625 × 16384)
    floor (3678.5)     		ty = 3678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7135 / 3678 ti = "14/7135/3678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7135/3678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7135 ÷ 214
    7135 ÷ 16384     		x = 0.43548583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3678 ÷ 214
    3678 ÷ 16384     		y = 0.2244873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43548583984375 × 2 - 1) × π
    -0.1290283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40535442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2244873046875 × 2 - 1) × π
    0.551025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.73109731907947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40535442} λ = -0.40535442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73109731907947))-π/2
    2×atan(5.64684690280674)-π/2
    2×1.39552350709719-π/2
    2.79104701419438-1.57079632675     		φ = 1.22025069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40535442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.225097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22025069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.915214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7135 KachelY 3678 -0.40535442 1.22025069 -23.225097 69.915214
    Oben rechts KachelX + 1 7136 KachelY 3678 -0.40497093 1.22025069 -23.203125 69.915214
    Unten links KachelX 7135 KachelY + 1 3679 -0.40535442 1.22011897 -23.225097 69.907667
    Unten rechts KachelX + 1 7136 KachelY + 1 3679 -0.40497093 1.22011897 -23.203125 69.907667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22025069-1.22011897) × R
    0.000131720000000168 × 6371000     		dl = 839.188120001073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22025069-1.22011897) × R
    0.000131720000000168 × 6371000     		dr = 839.188120001073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40535442--0.40497093) × cos(1.22025069) × R
    0.000383489999999986 × 0.343410312702587 × 6371000     		do = 839.025155033455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40535442--0.40497093) × cos(1.22011897) × R
    0.000383489999999986 × 0.343534019233932 × 6371000     		du = 839.327396660458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22025069)-sin(1.22011897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343410312702587-0.343534019233932)×R²
    abs(-0.40497093--0.40535442)×0.000123706531345358×R²
    0.000383489999999986×0.000123706531345358×6371000²
    0.000383489999999986×0.000123706531345358×40589641000000     		ar = 704226.762295211m²