Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7134 / 8106
↖ ↑ ↗
← N 79.259729°
W140.811768°		 ← 113.82 m → N 79.259729°
W140.806275°		 →
↑
113.79 m
↓
↑
113.79 m
↓
N 79.258706°
W140.811768°		 ← 113.84 m →
12 952 m²		 N 79.258706°
W140.806275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108863830566406 y=0.123695373535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108863830566406 × 216)
    floor (0.108863830566406 × 65536)
    floor (7134.5)     		tx = 7134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123695373535156 × 216)
    floor (0.123695373535156 × 65536)
    floor (8106.5)     		ty = 8106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7134 / 8106 ti = "16/7134/8106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7134/8106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7134 ÷ 216
    7134 ÷ 65536     		x = 0.108856201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8106 ÷ 216
    8106 ÷ 65536     		y = 0.123687744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108856201171875 × 2 - 1) × π
    -0.78228759765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.45762897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123687744140625 × 2 - 1) × π
    0.75262451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36443963685965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45762897} λ = -2.45762897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36443963685965))-π/2
    2×atan(10.6380759613307)-π/2
    2×1.477069785849-π/2
    2.954139571698-1.57079632675     		φ = 1.38334324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45762897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.811768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38334324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.259729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7134 KachelY 8106 -2.45762897 1.38334324 -140.811768 79.259729
    Oben rechts KachelX + 1 7135 KachelY 8106 -2.45753310 1.38334324 -140.806275 79.259729
    Unten links KachelX 7134 KachelY + 1 8107 -2.45762897 1.38332538 -140.811768 79.258706
    Unten rechts KachelX + 1 7135 KachelY + 1 8107 -2.45753310 1.38332538 -140.806275 79.258706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38334324-1.38332538) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dl = 113.786060000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38334324-1.38332538) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dr = 113.786060000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45762897--2.45753310) × cos(1.38334324) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186357205585118 × 6371000     		do = 113.824702022763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45762897--2.45753310) × cos(1.38332538) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186374752684929 × 6371000     		du = 113.835419576727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38334324)-sin(1.38332538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186357205585118-0.186374752684929)×R²
    abs(-2.45753310--2.45762897)×1.75470998114158e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75470998114158e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75470998114158e-05×40589641000000     		ar = 12952.2741281532m²