Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71337 / 62919
↖ ↑ ↗
← N  7.169026°
E 15.932922°		 ← 303.04 m → N  7.169026°
E 15.935669°		 →
↑
303 m
↓
↑
303 m
↓
N  7.166301°
E 15.932922°		 ← 303.04 m →
91 822 m²		 N  7.166301°
E 15.935669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544261932373047 y=0.480037689208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544261932373047 × 217)
    floor (0.544261932373047 × 131072)
    floor (71337.5)     		tx = 71337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480037689208984 × 217)
    floor (0.480037689208984 × 131072)
    floor (62919.5)     		ty = 62919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71337 / 62919 ti = "17/71337/62919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71337/62919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71337 ÷ 217
    71337 ÷ 131072     		x = 0.544258117675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62919 ÷ 217
    62919 ÷ 131072     		y = 0.480033874511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544258117675781 × 2 - 1) × π
    0.0885162353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27808195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.480033874511719 × 2 - 1) × π
    0.0399322509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.125450866305687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27808195} λ = 0.27808195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.125450866305687))-π/2
    2×atan(1.13365946671442)-π/2
    2×0.84795971296432-π/2
    1.69591942592864-1.57079632675     		φ = 0.12512310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27808195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.932922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12512310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.169026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71337 KachelY 62919 0.27808195 0.12512310 15.932922 7.169026
    Oben rechts KachelX + 1 71338 KachelY 62919 0.27812989 0.12512310 15.935669 7.169026
    Unten links KachelX 71337 KachelY + 1 62920 0.27808195 0.12507554 15.932922 7.166301
    Unten rechts KachelX + 1 71338 KachelY + 1 62920 0.27812989 0.12507554 15.935669 7.166301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12512310-0.12507554) × R
    4.75599999999743e-05 × 6371000     		dl = 303.004759999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12512310-0.12507554) × R
    4.75599999999743e-05 × 6371000     		dr = 303.004759999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27808195-0.27812989) × cos(0.12512310) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.992182312252 × 6371000     		do = 303.038016934279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27808195-0.27812989) × cos(0.12507554) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.992188246469094 × 6371000     		du = 303.039829396927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12512310)-sin(0.12507554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992182312252-0.992188246469094)×R²
    abs(0.27812989-0.27808195)×5.93421709371711e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.93421709371711e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.93421709371711e-06×40589641000000     		ar = 91822.2362017259m²