Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7133 / 3637
↖ ↑ ↗
← N 70.222311°
W 23.269043°		 ← 826.71 m → N 70.222311°
W 23.247070°		 →
↑
826.83 m
↓
↑
826.83 m
↓
N 70.214875°
W 23.269043°		 ← 827.01 m →
683 674 m²		 N 70.214875°
W 23.247070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435394287109375 y=0.222015380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435394287109375 × 214)
    floor (0.435394287109375 × 16384)
    floor (7133.5)     		tx = 7133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222015380859375 × 214)
    floor (0.222015380859375 × 16384)
    floor (3637.5)     		ty = 3637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7133 / 3637 ti = "14/7133/3637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7133/3637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7133 ÷ 214
    7133 ÷ 16384     		x = 0.43536376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3637 ÷ 214
    3637 ÷ 16384     		y = 0.22198486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43536376953125 × 2 - 1) × π
    -0.1292724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40612141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22198486328125 × 2 - 1) × π
    0.5560302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.74682062215485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40612141} λ = -0.40612141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74682062215485))-π/2
    2×atan(5.73633567398831)-π/2
    2×1.39820343031072-π/2
    2.79640686062144-1.57079632675     		φ = 1.22561053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40612141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.269043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22561053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.222311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7133 KachelY 3637 -0.40612141 1.22561053 -23.269043 70.222311
    Oben rechts KachelX + 1 7134 KachelY 3637 -0.40573792 1.22561053 -23.247070 70.222311
    Unten links KachelX 7133 KachelY + 1 3638 -0.40612141 1.22548075 -23.269043 70.214875
    Unten rechts KachelX + 1 7134 KachelY + 1 3638 -0.40573792 1.22548075 -23.247070 70.214875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22561053-1.22548075) × R
    0.000129779999999968 × 6371000     		dl = 826.828379999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22561053-1.22548075) × R
    0.000129779999999968 × 6371000     		dr = 826.828379999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40612141--0.40573792) × cos(1.22561053) × R
    0.000383490000000042 × 0.338371520212285 × 6371000     		do = 826.714302697529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40612141--0.40573792) × cos(1.22548075) × R
    0.000383490000000042 × 0.338493641977666 × 6371000     		du = 827.012672400888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22561053)-sin(1.22548075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338371520212285-0.338493641977666)×R²
    abs(-0.40573792--0.40612141)×0.000122121765380567×R²
    0.000383490000000042×0.000122121765380567×6371000²
    0.000383490000000042×0.000122121765380567×40589641000000     		ar = 683674.198850327m²