Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7133 / 1236
↖ ↑ ↗
← N 77.273855°
E133.461914°		 ← 1 076.45 m → N 77.273855°
E133.505860°		 →
↑
1 076.83 m
↓
↑
1 076.83 m
↓
N 77.264171°
E133.461914°		 ← 1 077.26 m →
1 159 586 m²		 N 77.264171°
E133.505860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87078857421875 y=0.15093994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87078857421875 × 213)
    floor (0.87078857421875 × 8192)
    floor (7133.5)     		tx = 7133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15093994140625 × 213)
    floor (0.15093994140625 × 8192)
    floor (1236.5)     		ty = 1236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7133 / 1236 ti = "13/7133/1236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7133/1236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7133 ÷ 213
    7133 ÷ 8192     		x = 0.8707275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1236 ÷ 213
    1236 ÷ 8192     		y = 0.15087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8707275390625 × 2 - 1) × π
    0.741455078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32934983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15087890625 × 2 - 1) × π
    0.6982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19359252661377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32934983} λ = 2.32934983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19359252661377))-π/2
    2×atan(8.9673708347593)-π/2
    2×1.45973975883225-π/2
    2.9194795176645-1.57079632675     		φ = 1.34868319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32934983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.461914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34868319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.273855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7133 KachelY 1236 2.32934983 1.34868319 133.461914 77.273855
    Oben rechts KachelX + 1 7134 KachelY 1236 2.33011682 1.34868319 133.505860 77.273855
    Unten links KachelX 7133 KachelY + 1 1237 2.32934983 1.34851417 133.461914 77.264171
    Unten rechts KachelX + 1 7134 KachelY + 1 1237 2.33011682 1.34851417 133.505860 77.264171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34868319-1.34851417) × R
    0.000169019999999964 × 6371000     		dl = 1076.82641999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34868319-1.34851417) × R
    0.000169019999999964 × 6371000     		dr = 1076.82641999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32934983-2.33011682) × cos(1.34868319) × R
    0.000766990000000245 × 0.220291339119025 × 6371000     		do = 1076.45215045057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32934983-2.33011682) × cos(1.34851417) × R
    0.000766990000000245 × 0.220456203846886 × 6371000     		du = 1077.25776083703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34868319)-sin(1.34851417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220291339119025-0.220456203846886)×R²
    abs(2.33011682-2.32934983)×0.000164864727861119×R²
    0.000766990000000245×0.000164864727861119×6371000²
    0.000766990000000245×0.000164864727861119×40589641000000     		ar = 1159585.86950569m²