Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7133 / 1115
↖ ↑ ↗
← N 78.393700°
E133.461914°		 ← 983.09 m → N 78.393700°
E133.505860°		 →
↑
983.43 m
↓
↑
983.43 m
↓
N 78.384855°
E133.461914°		 ← 983.83 m →
967 163 m²		 N 78.384855°
E133.505860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87078857421875 y=0.13616943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87078857421875 × 213)
    floor (0.87078857421875 × 8192)
    floor (7133.5)     		tx = 7133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13616943359375 × 213)
    floor (0.13616943359375 × 8192)
    floor (1115.5)     		ty = 1115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7133 / 1115 ti = "13/7133/1115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7133/1115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7133 ÷ 213
    7133 ÷ 8192     		x = 0.8707275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1115 ÷ 213
    1115 ÷ 8192     		y = 0.1361083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8707275390625 × 2 - 1) × π
    0.741455078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32934983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1361083984375 × 2 - 1) × π
    0.727783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2863983642782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32934983} λ = 2.32934983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2863983642782))-π/2
    2×atan(9.83943572380599)-π/2
    2×1.46951224923348-π/2
    2.93902449846695-1.57079632675     		φ = 1.36822817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32934983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.461914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36822817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.393700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7133 KachelY 1115 2.32934983 1.36822817 133.461914 78.393700
    Oben rechts KachelX + 1 7134 KachelY 1115 2.33011682 1.36822817 133.505860 78.393700
    Unten links KachelX 7133 KachelY + 1 1116 2.32934983 1.36807381 133.461914 78.384855
    Unten rechts KachelX + 1 7134 KachelY + 1 1116 2.33011682 1.36807381 133.505860 78.384855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36822817-1.36807381) × R
    0.00015436000000002 × 6371000     		dl = 983.427560000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36822817-1.36807381) × R
    0.00015436000000002 × 6371000     		dr = 983.427560000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32934983-2.33011682) × cos(1.36822817) × R
    0.000766990000000245 × 0.201185637515247 × 6371000     		do = 983.092267762943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32934983-2.33011682) × cos(1.36807381) × R
    0.000766990000000245 × 0.201336838939343 × 6371000     		du = 983.831112507226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36822817)-sin(1.36807381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201185637515247-0.201336838939343)×R²
    abs(2.33011682-2.32934983)×0.000151201424095748×R²
    0.000766990000000245×0.000151201424095748×6371000²
    0.000766990000000245×0.000151201424095748×40589641000000     		ar = 967163.332203922m²