Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7133 / 1114
↖ ↑ ↗
← N 78.402537°
E133.461914°		 ← 982.35 m → N 78.402537°
E133.505860°		 →
↑
982.73 m
↓
↑
982.73 m
↓
N 78.393700°
E133.461914°		 ← 983.09 m →
965 748 m²		 N 78.393700°
E133.505860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87078857421875 y=0.13604736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87078857421875 × 213)
    floor (0.87078857421875 × 8192)
    floor (7133.5)     		tx = 7133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13604736328125 × 213)
    floor (0.13604736328125 × 8192)
    floor (1114.5)     		ty = 1114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7133 / 1114 ti = "13/7133/1114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7133/1114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7133 ÷ 213
    7133 ÷ 8192     		x = 0.8707275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1114 ÷ 213
    1114 ÷ 8192     		y = 0.135986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8707275390625 × 2 - 1) × π
    0.741455078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.32934983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135986328125 × 2 - 1) × π
    0.72802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28716535467212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32934983} λ = 2.32934983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28716535467212))-π/2
    2×atan(9.84698537137122)-π/2
    2×1.46958937398238-π/2
    2.93917874796477-1.57079632675     		φ = 1.36838242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32934983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.461914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36838242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.402537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7133 KachelY 1114 2.32934983 1.36838242 133.461914 78.402537
    Oben rechts KachelX + 1 7134 KachelY 1114 2.33011682 1.36838242 133.505860 78.402537
    Unten links KachelX 7133 KachelY + 1 1115 2.32934983 1.36822817 133.461914 78.393700
    Unten rechts KachelX + 1 7134 KachelY + 1 1115 2.33011682 1.36822817 133.505860 78.393700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36838242-1.36822817) × R
    0.000154250000000022 × 6371000     		dl = 982.726750000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36838242-1.36822817) × R
    0.000154250000000022 × 6371000     		dr = 982.726750000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32934983-2.33011682) × cos(1.36838242) × R
    0.000766990000000245 × 0.201034539051758 × 6371000     		do = 982.353926134971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32934983-2.33011682) × cos(1.36822817) × R
    0.000766990000000245 × 0.201185637515247 × 6371000     		du = 983.092267762943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36838242)-sin(1.36822817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201034539051758-0.201185637515247)×R²
    abs(2.33011682-2.32934983)×0.000151098463489707×R²
    0.000766990000000245×0.000151098463489707×6371000²
    0.000766990000000245×0.000151098463489707×40589641000000     		ar = 965748.277126735m²