Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71328 / 76320
↖ ↑ ↗
← S 28.381735°
E 15.908203°		 ← 268.71 m → S 28.381735°
E 15.910950°		 →
↑
268.73 m
↓
↑
268.73 m
↓
S 28.384152°
E 15.908203°		 ← 268.71 m →
72 210 m²		 S 28.384152°
E 15.910950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544193267822266 y=0.582279205322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544193267822266 × 217)
    floor (0.544193267822266 × 131072)
    floor (71328.5)     		tx = 71328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582279205322266 × 217)
    floor (0.582279205322266 × 131072)
    floor (76320.5)     		ty = 76320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71328 / 76320 ti = "17/71328/76320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71328/76320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71328 ÷ 217
    71328 ÷ 131072     		x = 0.544189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76320 ÷ 217
    76320 ÷ 131072     		y = 0.582275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544189453125 × 2 - 1) × π
    0.08837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27765052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582275390625 × 2 - 1) × π
    -0.16455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.516951525502686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27765052} λ = 0.27765052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.516951525502686))-π/2
    2×atan(0.596335694006302)-π/2
    2×0.537720801437499-π/2
    1.075441602875-1.57079632675     		φ = -0.49535472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27765052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.908203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49535472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.381735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71328 KachelY 76320 0.27765052 -0.49535472 15.908203 -28.381735
    Oben rechts KachelX + 1 71329 KachelY 76320 0.27769846 -0.49535472 15.910950 -28.381735
    Unten links KachelX 71328 KachelY + 1 76321 0.27765052 -0.49539690 15.908203 -28.384152
    Unten rechts KachelX + 1 71329 KachelY + 1 76321 0.27769846 -0.49539690 15.910950 -28.384152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49535472--0.49539690) × R
    4.21799999999473e-05 × 6371000     		dl = 268.728779999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49535472--0.49539690) × R
    4.21799999999473e-05 × 6371000     		dr = 268.728779999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27765052-0.27769846) × cos(-0.49535472) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.879800151250806 × 6371000     		do = 268.713612247713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27765052-0.27769846) × cos(-0.49539690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.879780100468202 × 6371000     		du = 268.707488222599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49535472)-sin(-0.49539690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879800151250806-0.879780100468202)×R²
    abs(0.27769846-0.27765052)×2.00507826036977e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00507826036977e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00507826036977e-05×40589641000000     		ar = 72210.2583483812m²