Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71328 / 62689
↖ ↑ ↗
← N  7.795357°
E 15.908203°		 ← 302.60 m → N  7.795357°
E 15.910950°		 →
↑
302.56 m
↓
↑
302.56 m
↓
N  7.792636°
E 15.908203°		 ← 302.61 m →
91 556 m²		 N  7.792636°
E 15.910950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544193267822266 y=0.478282928466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544193267822266 × 217)
    floor (0.544193267822266 × 131072)
    floor (71328.5)     		tx = 71328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478282928466797 × 217)
    floor (0.478282928466797 × 131072)
    floor (62689.5)     		ty = 62689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71328 / 62689 ti = "17/71328/62689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71328/62689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71328 ÷ 217
    71328 ÷ 131072     		x = 0.544189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62689 ÷ 217
    62689 ÷ 131072     		y = 0.478279113769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544189453125 × 2 - 1) × π
    0.08837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27765052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478279113769531 × 2 - 1) × π
    0.0434417724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.1364763532183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27765052} λ = 0.27765052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.1364763532183))-π/2
    2×atan(1.14622777285737)-π/2
    2×0.85342548936995-π/2
    1.7068509787399-1.57079632675     		φ = 0.13605465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27765052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.908203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13605465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.795357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71328 KachelY 62689 0.27765052 0.13605465 15.908203 7.795357
    Oben rechts KachelX + 1 71329 KachelY 62689 0.27769846 0.13605465 15.910950 7.795357
    Unten links KachelX 71328 KachelY + 1 62690 0.27765052 0.13600716 15.908203 7.792636
    Unten rechts KachelX + 1 71329 KachelY + 1 62690 0.27769846 0.13600716 15.910950 7.792636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13605465-0.13600716) × R
    4.74900000000111e-05 × 6371000     		dl = 302.558790000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13605465-0.13600716) × R
    4.74900000000111e-05 × 6371000     		dr = 302.558790000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27765052-0.27769846) × cos(0.13605465) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.990758834476262 × 6371000     		do = 302.603250181251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27765052-0.27769846) × cos(0.13600716) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.990765274678955 × 6371000     		du = 302.605217184925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13605465)-sin(0.13600716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990758834476262-0.990765274678955)×R²
    abs(0.27769846-0.27765052)×6.44020269291445e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.44020269291445e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.44020269291445e-06×40589641000000     		ar = 91555.5708092794m²