Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71325 / 63069
↖ ↑ ↗
← N  6.760079°
E 15.899963°		 ← 303.30 m → N  6.760079°
E 15.902710°		 →
↑
303.32 m
↓
↑
303.32 m
↓
N  6.757351°
E 15.899963°		 ← 303.30 m →
91 999 m²		 N  6.757351°
E 15.902710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544170379638672 y=0.481182098388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544170379638672 × 217)
    floor (0.544170379638672 × 131072)
    floor (71325.5)     		tx = 71325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481182098388672 × 217)
    floor (0.481182098388672 × 131072)
    floor (63069.5)     		ty = 63069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71325 / 63069 ti = "17/71325/63069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71325/63069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71325 ÷ 217
    71325 ÷ 131072     		x = 0.544166564941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63069 ÷ 217
    63069 ÷ 131072     		y = 0.481178283691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544166564941406 × 2 - 1) × π
    0.0883331298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27750671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481178283691406 × 2 - 1) × π
    0.0376434326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.118260331362679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27750671} λ = 0.27750671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.118260331362679))-π/2
    2×atan(1.12553708583377)-π/2
    2×0.84439098147913-π/2
    1.68878196295826-1.57079632675     		φ = 0.11798564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27750671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.899963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11798564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.760079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71325 KachelY 63069 0.27750671 0.11798564 15.899963 6.760079
    Oben rechts KachelX + 1 71326 KachelY 63069 0.27755465 0.11798564 15.902710 6.760079
    Unten links KachelX 71325 KachelY + 1 63070 0.27750671 0.11793803 15.899963 6.757351
    Unten rechts KachelX + 1 71326 KachelY + 1 63070 0.27755465 0.11793803 15.902710 6.757351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11798564-0.11793803) × R
    4.76100000000035e-05 × 6371000     		dl = 303.323310000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11798564-0.11793803) × R
    4.76100000000035e-05 × 6371000     		dr = 303.323310000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27750671-0.27755465) × cos(0.11798564) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.993047764940244 × 6371000     		do = 303.302348462372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27750671-0.27755465) × cos(0.11793803) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.993053368087454 × 6371000     		du = 303.304059807755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11798564)-sin(0.11793803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993047764940244-0.993053368087454)×R²
    abs(0.27755465-0.27750671)×5.60314721009814e-06×R²
    4.79400000000241e-05×5.60314721009814e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×5.60314721009814e-06×40589641000000     		ar = 91998.9318292468m²