Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71323 / 63071
↖ ↑ ↗
← N  6.754624°
E 15.894470°		 ← 303.31 m → N  6.754624°
E 15.897217°		 →
↑
303.32 m
↓
↑
303.32 m
↓
N  6.751896°
E 15.894470°		 ← 303.31 m →
92 000 m²		 N  6.751896°
E 15.897217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544155120849609 y=0.481197357177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544155120849609 × 217)
    floor (0.544155120849609 × 131072)
    floor (71323.5)     		tx = 71323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481197357177734 × 217)
    floor (0.481197357177734 × 131072)
    floor (63071.5)     		ty = 63071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71323 / 63071 ti = "17/71323/63071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71323/63071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71323 ÷ 217
    71323 ÷ 131072     		x = 0.544151306152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63071 ÷ 217
    63071 ÷ 131072     		y = 0.481193542480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544151306152344 × 2 - 1) × π
    0.0883026123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27741084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481193542480469 × 2 - 1) × π
    0.0376129150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.118164457563438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27741084} λ = 0.27741084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.118164457563438))-π/2
    2×atan(1.12542918148984)-π/2
    2×0.844343377579538-π/2
    1.68868675515908-1.57079632675     		φ = 0.11789043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27741084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.894470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11789043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.754624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71323 KachelY 63071 0.27741084 0.11789043 15.894470 6.754624
    Oben rechts KachelX + 1 71324 KachelY 63071 0.27745878 0.11789043 15.897217 6.754624
    Unten links KachelX 71323 KachelY + 1 63072 0.27741084 0.11784282 15.894470 6.751896
    Unten rechts KachelX + 1 71324 KachelY + 1 63072 0.27745878 0.11784282 15.897217 6.751896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11789043-0.11784282) × R
    4.76100000000035e-05 × 6371000     		dl = 303.323310000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11789043-0.11784282) × R
    4.76100000000035e-05 × 6371000     		dr = 303.323310000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27741084-0.27745878) × cos(0.11789043) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.993058967807522 × 6371000     		do = 303.305770106401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27741084-0.27745878) × cos(0.11784282) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.99306456645326 × 6371000     		du = 303.307480076918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11789043)-sin(0.11784282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993058967807522-0.99306456645326)×R²
    abs(0.27745878-0.27741084)×5.59864573790314e-06×R²
    4.79400000000241e-05×5.59864573790314e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×5.59864573790314e-06×40589641000000     		ar = 91999.9694851212m²