Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7132 / 9228
↖ ↑ ↗
← N 78.048346°
W140.822754°		 ← 126.50 m → N 78.048346°
W140.817261°		 →
↑
126.53 m
↓
↑
126.53 m
↓
N 78.047208°
W140.822754°		 ← 126.51 m →
16 006 m²		 N 78.047208°
W140.817261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108833312988281 y=0.140815734863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108833312988281 × 216)
    floor (0.108833312988281 × 65536)
    floor (7132.5)     		tx = 7132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140815734863281 × 216)
    floor (0.140815734863281 × 65536)
    floor (9228.5)     		ty = 9228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7132 / 9228 ti = "16/7132/9228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7132/9228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7132 ÷ 216
    7132 ÷ 65536     		x = 0.10882568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9228 ÷ 216
    9228 ÷ 65536     		y = 0.14080810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10882568359375 × 2 - 1) × π
    -0.7823486328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45782072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14080810546875 × 2 - 1) × π
    0.7183837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25686923411224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45782072} λ = -2.45782072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25686923411224))-π/2
    2×atan(9.55313367438647)-π/2
    2×1.46649847151178-π/2
    2.93299694302356-1.57079632675     		φ = 1.36220062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45782072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.822754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36220062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.048346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7132 KachelY 9228 -2.45782072 1.36220062 -140.822754 78.048346
    Oben rechts KachelX + 1 7133 KachelY 9228 -2.45772484 1.36220062 -140.817261 78.048346
    Unten links KachelX 7132 KachelY + 1 9229 -2.45782072 1.36218076 -140.822754 78.047208
    Unten rechts KachelX + 1 7133 KachelY + 1 9229 -2.45772484 1.36218076 -140.817261 78.047208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36220062-1.36218076) × R
    1.98600000000937e-05 × 6371000     		dl = 126.528060000597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36220062-1.36218076) × R
    1.98600000000937e-05 × 6371000     		dr = 126.528060000597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45782072--2.45772484) × cos(1.36220062) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.20708625258405 × 6371000     		do = 126.498943878538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45782072--2.45772484) × cos(1.36218076) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207105682031815 × 6371000     		du = 126.510812385461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36220062)-sin(1.36218076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20708625258405-0.207105682031815)×R²
    abs(-2.45772484--2.45782072)×1.94294477647294e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.94294477647294e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.94294477647294e-05×40589641000000     		ar = 16006.4168114502m²