Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71318 / 63016
↖ ↑ ↗
← N  6.904614°
E 15.880737°		 ← 303.21 m → N  6.904614°
E 15.883484°		 →
↑
303.20 m
↓
↑
303.20 m
↓
N  6.901887°
E 15.880737°		 ← 303.21 m →
91 932 m²		 N  6.901887°
E 15.883484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544116973876953 y=0.480777740478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544116973876953 × 217)
    floor (0.544116973876953 × 131072)
    floor (71318.5)     		tx = 71318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480777740478516 × 217)
    floor (0.480777740478516 × 131072)
    floor (63016.5)     		ty = 63016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71318 / 63016 ti = "17/71318/63016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71318/63016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71318 ÷ 217
    71318 ÷ 131072     		x = 0.544113159179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63016 ÷ 217
    63016 ÷ 131072     		y = 0.48077392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544113159179688 × 2 - 1) × π
    0.088226318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27717115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48077392578125 × 2 - 1) × π
    0.0384521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.120800987042542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27717115} λ = 0.27717115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.120800987042542))-π/2
    2×atan(1.12840032373444)-π/2
    2×0.845652287747612-π/2
    1.69130457549522-1.57079632675     		φ = 0.12050825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27717115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.880737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12050825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.904614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71318 KachelY 63016 0.27717115 0.12050825 15.880737 6.904614
    Oben rechts KachelX + 1 71319 KachelY 63016 0.27721909 0.12050825 15.883484 6.904614
    Unten links KachelX 71318 KachelY + 1 63017 0.27717115 0.12046066 15.880737 6.901887
    Unten rechts KachelX + 1 71319 KachelY + 1 63017 0.27721909 0.12046066 15.883484 6.901887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12050825-0.12046066) × R
    4.75900000000001e-05 × 6371000     		dl = 303.195890000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12050825-0.12046066) × R
    4.75900000000001e-05 × 6371000     		dr = 303.195890000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27717115-0.27721909) × cos(0.12050825) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.992747663896932 × 6371000     		do = 303.210689879144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27717115-0.27721909) × cos(0.12046066) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.992753383889622 × 6371000     		du = 303.212436912144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12050825)-sin(0.12046066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992747663896932-0.992753383889622)×R²
    abs(0.27721909-0.27717115)×5.71999268994539e-06×R²
    4.79400000000241e-05×5.71999268994539e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×5.71999268994539e-06×40589641000000     		ar = 91932.4998394017m²