Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71317 / 63017
↖ ↑ ↗
← N  6.901887°
E 15.877991°		 ← 303.15 m → N  6.901887°
E 15.880737°		 →
↑
303.20 m
↓
↑
303.20 m
↓
N  6.899161°
E 15.877991°		 ← 303.15 m →
91 914 m²		 N  6.899161°
E 15.880737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544109344482422 y=0.480785369873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544109344482422 × 217)
    floor (0.544109344482422 × 131072)
    floor (71317.5)     		tx = 71317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480785369873047 × 217)
    floor (0.480785369873047 × 131072)
    floor (63017.5)     		ty = 63017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71317 / 63017 ti = "17/71317/63017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71317/63017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71317 ÷ 217
    71317 ÷ 131072     		x = 0.544105529785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63017 ÷ 217
    63017 ÷ 131072     		y = 0.480781555175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544105529785156 × 2 - 1) × π
    0.0882110595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27712322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.480781555175781 × 2 - 1) × π
    0.0384368896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.120753050142921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27712322} λ = 0.27712322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.120753050142921))-π/2
    2×atan(1.12834623301787)-π/2
    2×0.845628493056499-π/2
    1.691256986113-1.57079632675     		φ = 0.12046066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27712322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.877991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12046066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.901887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71317 KachelY 63017 0.27712322 0.12046066 15.877991 6.901887
    Oben rechts KachelX + 1 71318 KachelY 63017 0.27717115 0.12046066 15.880737 6.901887
    Unten links KachelX 71317 KachelY + 1 63018 0.27712322 0.12041307 15.877991 6.899161
    Unten rechts KachelX + 1 71318 KachelY + 1 63018 0.27717115 0.12041307 15.880737 6.899161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12046066-0.12041307) × R
    4.75900000000001e-05 × 6371000     		dl = 303.195890000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12046066-0.12041307) × R
    4.75900000000001e-05 × 6371000     		dr = 303.195890000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27712322-0.27717115) × cos(0.12046066) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.992753383889622 × 6371000     		do = 303.149188593739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27712322-0.27717115) × cos(0.12041307) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.992759101633916 × 6371000     		du = 303.150934575743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12046066)-sin(0.12041307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992753383889622-0.992759101633916)×R²
    abs(0.27717115-0.27712322)×5.71774429403149e-06×R²
    4.79299999999738e-05×5.71774429403149e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×5.71774429403149e-06×40589641000000     		ar = 91913.8527430951m²