Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71315 / 63059
↖ ↑ ↗
← N  6.787353°
E 15.872497°		 ← 303.29 m → N  6.787353°
E 15.875244°		 →
↑
303.26 m
↓
↑
303.26 m
↓
N  6.784626°
E 15.872497°		 ← 303.29 m →
91 974 m²		 N  6.784626°
E 15.875244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544094085693359 y=0.481105804443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544094085693359 × 217)
    floor (0.544094085693359 × 131072)
    floor (71315.5)     		tx = 71315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481105804443359 × 217)
    floor (0.481105804443359 × 131072)
    floor (63059.5)     		ty = 63059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71315 / 63059 ti = "17/71315/63059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71315/63059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71315 ÷ 217
    71315 ÷ 131072     		x = 0.544090270996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63059 ÷ 217
    63059 ÷ 131072     		y = 0.481101989746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544090270996094 × 2 - 1) × π
    0.0881805419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27702734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481101989746094 × 2 - 1) × π
    0.0377960205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.118739700358879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27702734} λ = 0.27702734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.118739700358879))-π/2
    2×atan(1.12607676275865)-π/2
    2×0.844628992910117-π/2
    1.68925798582023-1.57079632675     		φ = 0.11846166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27702734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.872497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11846166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.787353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71315 KachelY 63059 0.27702734 0.11846166 15.872497 6.787353
    Oben rechts KachelX + 1 71316 KachelY 63059 0.27707528 0.11846166 15.875244 6.787353
    Unten links KachelX 71315 KachelY + 1 63060 0.27702734 0.11841406 15.872497 6.784626
    Unten rechts KachelX + 1 71316 KachelY + 1 63060 0.27707528 0.11841406 15.875244 6.784626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11846166-0.11841406) × R
    4.75999999999949e-05 × 6371000     		dl = 303.259599999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11846166-0.11841406) × R
    4.75999999999949e-05 × 6371000     		dr = 303.259599999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27702734-0.27707528) × cos(0.11846166) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.992991619122592 × 6371000     		do = 303.285200084117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27702734-0.27707528) × cos(0.11841406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.992997243593606 × 6371000     		du = 303.286917942339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11846166)-sin(0.11841406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992991619122592-0.992997243593606)×R²
    abs(0.27707528-0.27702734)×5.62447101415398e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.62447101415398e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.62447101415398e-06×40589641000000     		ar = 91974.4089592886m²