Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71314 / 63058
↖ ↑ ↗
← N  6.790080°
E 15.869751°		 ← 303.22 m → N  6.790080°
E 15.872497°		 →
↑
303.26 m
↓
↑
303.26 m
↓
N  6.787353°
E 15.869751°		 ← 303.22 m →
91 955 m²		 N  6.787353°
E 15.872497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544086456298828 y=0.481098175048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544086456298828 × 217)
    floor (0.544086456298828 × 131072)
    floor (71314.5)     		tx = 71314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481098175048828 × 217)
    floor (0.481098175048828 × 131072)
    floor (63058.5)     		ty = 63058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71314 / 63058 ti = "17/71314/63058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71314/63058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71314 ÷ 217
    71314 ÷ 131072     		x = 0.544082641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63058 ÷ 217
    63058 ÷ 131072     		y = 0.481094360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544082641601562 × 2 - 1) × π
    0.088165283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27697941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481094360351562 × 2 - 1) × π
    0.037811279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.118787637258499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27697941} λ = 0.27697941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.118787637258499))-π/2
    2×atan(1.12613074468124)-π/2
    2×0.844652793312476-π/2
    1.68930558662495-1.57079632675     		φ = 0.11850926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27697941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.869751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11850926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.790080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71314 KachelY 63058 0.27697941 0.11850926 15.869751 6.790080
    Oben rechts KachelX + 1 71315 KachelY 63058 0.27702734 0.11850926 15.872497 6.790080
    Unten links KachelX 71314 KachelY + 1 63059 0.27697941 0.11846166 15.869751 6.787353
    Unten rechts KachelX + 1 71315 KachelY + 1 63059 0.27702734 0.11846166 15.872497 6.787353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11850926-0.11846166) × R
    4.76000000000087e-05 × 6371000     		dl = 303.259600000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11850926-0.11846166) × R
    4.76000000000087e-05 × 6371000     		dr = 303.259600000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27697941-0.27702734) × cos(0.11850926) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.992985992401697 × 6371000     		do = 303.220218401532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27697941-0.27702734) × cos(0.11846166) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.992991619122592 × 6371000     		du = 303.221936588447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11850926)-sin(0.11846166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992985992401697-0.992991619122592)×R²
    abs(0.27702734-0.27697941)×5.62672089499117e-06×R²
    4.79300000000293e-05×5.62672089499117e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×5.62672089499117e-06×40589641000000     		ar = 91954.7026900809m²