Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71312 / 95888
↖ ↑ ↗
← S 63.724183°
E 15.864258°		 ← 135.21 m → S 63.724183°
E 15.867004°		 →
↑
135.19 m
↓
↑
135.19 m
↓
S 63.725399°
E 15.864258°		 ← 135.20 m →
18 279 m²		 S 63.725399°
E 15.867004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544071197509766 y=0.731571197509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544071197509766 × 217)
    floor (0.544071197509766 × 131072)
    floor (71312.5)     		tx = 71312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731571197509766 × 217)
    floor (0.731571197509766 × 131072)
    floor (95888.5)     		ty = 95888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71312 / 95888 ti = "17/71312/95888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71312/95888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71312 ÷ 217
    71312 ÷ 131072     		x = 0.5440673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95888 ÷ 217
    95888 ÷ 131072     		y = 0.7315673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5440673828125 × 2 - 1) × π
    0.088134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27688353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7315673828125 × 2 - 1) × π
    -0.463134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45498077726794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27688353} λ = 0.27688353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45498077726794))-π/2
    2×atan(0.233404850536931)-π/2
    2×0.229299756738033-π/2
    0.458599513476066-1.57079632675     		φ = -1.11219681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27688353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.864258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11219681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.724183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71312 KachelY 95888 0.27688353 -1.11219681 15.864258 -63.724183
    Oben rechts KachelX + 1 71313 KachelY 95888 0.27693147 -1.11219681 15.867004 -63.724183
    Unten links KachelX 71312 KachelY + 1 95889 0.27688353 -1.11221803 15.864258 -63.725399
    Unten rechts KachelX + 1 71313 KachelY + 1 95889 0.27693147 -1.11221803 15.867004 -63.725399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11219681--1.11221803) × R
    2.1220000000044e-05 × 6371000     		dl = 135.19262000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11219681--1.11221803) × R
    2.1220000000044e-05 × 6371000     		dr = 135.19262000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27688353-0.27693147) × cos(-1.11219681) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.442692765532613 × 6371000     		do = 135.209765505513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27688353-0.27693147) × cos(-1.11221803) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.442673738024236 × 6371000     		du = 135.203954014686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11219681)-sin(-1.11221803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442692765532613-0.442673738024236)×R²
    abs(0.27693147-0.27688353)×1.9027508377123e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9027508377123e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9027508377123e-05×40589641000000     		ar = 18278.9696138446m²