Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71310 / 62926
↖ ↑ ↗
← N  7.149949°
E 15.858765°		 ← 303.05 m → N  7.149949°
E 15.861511°		 →
↑
303.07 m
↓
↑
303.07 m
↓
N  7.147224°
E 15.858765°		 ← 303.05 m →
91 845 m²		 N  7.147224°
E 15.861511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544055938720703 y=0.480091094970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544055938720703 × 217)
    floor (0.544055938720703 × 131072)
    floor (71310.5)     		tx = 71310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480091094970703 × 217)
    floor (0.480091094970703 × 131072)
    floor (62926.5)     		ty = 62926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71310 / 62926 ti = "17/71310/62926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71310/62926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71310 ÷ 217
    71310 ÷ 131072     		x = 0.544052124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62926 ÷ 217
    62926 ÷ 131072     		y = 0.480087280273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544052124023438 × 2 - 1) × π
    0.088104248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27678766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.480087280273438 × 2 - 1) × π
    0.039825439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.125115308008347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27678766} λ = 0.27678766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.125115308008347))-π/2
    2×atan(1.13327912169153)-π/2
    2×0.847793241978105-π/2
    1.69558648395621-1.57079632675     		φ = 0.12479016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27678766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.858765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12479016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.149949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71310 KachelY 62926 0.27678766 0.12479016 15.858765 7.149949
    Oben rechts KachelX + 1 71311 KachelY 62926 0.27683560 0.12479016 15.861511 7.149949
    Unten links KachelX 71310 KachelY + 1 62927 0.27678766 0.12474259 15.858765 7.147224
    Unten rechts KachelX + 1 71311 KachelY + 1 62927 0.27683560 0.12474259 15.861511 7.147224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12479016-0.12474259) × R
    4.75699999999968e-05 × 6371000     		dl = 303.068469999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12479016-0.12474259) × R
    4.75699999999968e-05 × 6371000     		dr = 303.068469999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27678766-0.27683560) × cos(0.12479016) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.992223807130557 × 6371000     		do = 303.05069053862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27678766-0.27683560) × cos(0.12474259) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.992229726880632 × 6371000     		du = 303.052498582667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12479016)-sin(0.12474259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992223807130557-0.992229726880632)×R²
    abs(0.27683560-0.27678766)×5.91975007513401e-06×R²
    4.79400000000241e-05×5.91975007513401e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×5.91975007513401e-06×40589641000000     		ar = 91845.3831118498m²