Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7131 / 9259
↖ ↑ ↗
← N 78.013030°
W140.828247°		 ← 126.85 m → N 78.013030°
W140.822754°		 →
↑
126.85 m
↓
↑
126.85 m
↓
N 78.011890°
W140.828247°		 ← 126.87 m →
16 092 m²		 N 78.011890°
W140.822754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108818054199219 y=0.141288757324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108818054199219 × 216)
    floor (0.108818054199219 × 65536)
    floor (7131.5)     		tx = 7131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141288757324219 × 216)
    floor (0.141288757324219 × 65536)
    floor (9259.5)     		ty = 9259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7131 / 9259 ti = "16/7131/9259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7131/9259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7131 ÷ 216
    7131 ÷ 65536     		x = 0.108810424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9259 ÷ 216
    9259 ÷ 65536     		y = 0.141281127929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108810424804688 × 2 - 1) × π
    -0.782379150390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.45791659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141281127929688 × 2 - 1) × π
    0.717437744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2538971463358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45791659} λ = -2.45791659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2538971463358))-π/2
    2×atan(9.52478307367214)-π/2
    2×1.46619028443115-π/2
    2.9323805688623-1.57079632675     		φ = 1.36158424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45791659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.828247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36158424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.013030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7131 KachelY 9259 -2.45791659 1.36158424 -140.828247 78.013030
    Oben rechts KachelX + 1 7132 KachelY 9259 -2.45782072 1.36158424 -140.822754 78.013030
    Unten links KachelX 7131 KachelY + 1 9260 -2.45791659 1.36156433 -140.828247 78.011890
    Unten rechts KachelX + 1 7132 KachelY + 1 9260 -2.45782072 1.36156433 -140.822754 78.011890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36158424-1.36156433) × R
    1.99100000000119e-05 × 6371000     		dl = 126.846610000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36158424-1.36156433) × R
    1.99100000000119e-05 × 6371000     		dr = 126.846610000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45791659--2.45782072) × cos(1.36158424) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20768923174642 × 6371000     		do = 126.854042711406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45791659--2.45782072) × cos(1.36156433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.207708707564905 × 6371000     		du = 126.865938303148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36158424)-sin(1.36156433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20768923174642-0.207708707564905)×R²
    abs(-2.45782072--2.45791659)×1.94758184851596e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.94758184851596e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.94758184851596e-05×40589641000000     		ar = 16091.7597407236m²