Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71307 / 63053
↖ ↑ ↗
← N  6.803717°
E 15.850525°		 ← 303.21 m → N  6.803717°
E 15.853271°		 →
↑
303.26 m
↓
↑
303.26 m
↓
N  6.800990°
E 15.850525°		 ← 303.21 m →
91 952 m²		 N  6.800990°
E 15.853271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544033050537109 y=0.481060028076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544033050537109 × 217)
    floor (0.544033050537109 × 131072)
    floor (71307.5)     		tx = 71307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481060028076172 × 217)
    floor (0.481060028076172 × 131072)
    floor (63053.5)     		ty = 63053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71307 / 63053 ti = "17/71307/63053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71307/63053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71307 ÷ 217
    71307 ÷ 131072     		x = 0.544029235839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63053 ÷ 217
    63053 ÷ 131072     		y = 0.481056213378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.544029235839844 × 2 - 1) × π
    0.0880584716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27664385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481056213378906 × 2 - 1) × π
    0.0378875732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.119027321756599
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27664385} λ = 0.27664385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.119027321756599))-π/2
    2×atan(1.12640069311351)-π/2
    2×0.844771793299818-π/2
    1.68954358659964-1.57079632675     		φ = 0.11874726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27664385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.850525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11874726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.803717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71307 KachelY 63053 0.27664385 0.11874726 15.850525 6.803717
    Oben rechts KachelX + 1 71308 KachelY 63053 0.27669178 0.11874726 15.853271 6.803717
    Unten links KachelX 71307 KachelY + 1 63054 0.27664385 0.11869966 15.850525 6.800990
    Unten rechts KachelX + 1 71308 KachelY + 1 63054 0.27669178 0.11869966 15.853271 6.800990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11874726-0.11869966) × R
    4.75999999999949e-05 × 6371000     		dl = 303.259599999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11874726-0.11869966) × R
    4.75999999999949e-05 × 6371000     		dr = 303.259599999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27664385-0.27669178) × cos(0.11874726) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.992957825049459 × 6371000     		do = 303.211617161322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27664385-0.27669178) × cos(0.11869966) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.992963463019566 × 6371000     		du = 303.213338783319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11874726)-sin(0.11869966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992957825049459-0.992963463019566)×R²
    abs(0.27669178-0.27664385)×5.63797010699751e-06×R²
    4.79299999999738e-05×5.63797010699751e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×5.63797010699751e-06×40589641000000     		ar = 91952.0948022665m²