Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71302 / 63068
↖ ↑ ↗
← N  6.762806°
E 15.836792°		 ← 303.30 m → N  6.762806°
E 15.839539°		 →
↑
303.26 m
↓
↑
303.26 m
↓
N  6.760079°
E 15.836792°		 ← 303.30 m →
91 979 m²		 N  6.760079°
E 15.839539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543994903564453 y=0.481174468994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543994903564453 × 217)
    floor (0.543994903564453 × 131072)
    floor (71302.5)     		tx = 71302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481174468994141 × 217)
    floor (0.481174468994141 × 131072)
    floor (63068.5)     		ty = 63068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71302 / 63068 ti = "17/71302/63068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71302/63068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71302 ÷ 217
    71302 ÷ 131072     		x = 0.543991088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63068 ÷ 217
    63068 ÷ 131072     		y = 0.481170654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543991088867188 × 2 - 1) × π
    0.087982177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27640416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481170654296875 × 2 - 1) × π
    0.03765869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.118308268262299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27640416} λ = 0.27640416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.118308268262299))-π/2
    2×atan(1.1255910418853)-π/2
    2×0.844414783227491-π/2
    1.68882956645498-1.57079632675     		φ = 0.11803324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27640416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.836792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11803324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.762806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71302 KachelY 63068 0.27640416 0.11803324 15.836792 6.762806
    Oben rechts KachelX + 1 71303 KachelY 63068 0.27645210 0.11803324 15.839539 6.762806
    Unten links KachelX 71302 KachelY + 1 63069 0.27640416 0.11798564 15.836792 6.760079
    Unten rechts KachelX + 1 71303 KachelY + 1 63069 0.27645210 0.11798564 15.839539 6.760079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11803324-0.11798564) × R
    4.75999999999949e-05 × 6371000     		dl = 303.259599999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11803324-0.11798564) × R
    4.75999999999949e-05 × 6371000     		dr = 303.259599999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27640416-0.27645210) × cos(0.11803324) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.993042160719674 × 6371000     		do = 303.300636788806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27640416-0.27645210) × cos(0.11798564) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.993047764940244 × 6371000     		du = 303.302348462021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11803324)-sin(0.11798564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993042160719674-0.993047764940244)×R²
    abs(0.27645210-0.27640416)×5.60422056972154e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.60422056972154e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.60422056972154e-06×40589641000000     		ar = 91979.0893503417m²