Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71300 / 63072
↖ ↑ ↗
← N  6.751896°
E 15.831299°		 ← 303.31 m → N  6.751896°
E 15.834046°		 →
↑
303.26 m
↓
↑
303.26 m
↓
N  6.749169°
E 15.831299°		 ← 303.31 m →
91 981 m²		 N  6.749169°
E 15.834046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543979644775391 y=0.481204986572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543979644775391 × 217)
    floor (0.543979644775391 × 131072)
    floor (71300.5)     		tx = 71300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481204986572266 × 217)
    floor (0.481204986572266 × 131072)
    floor (63072.5)     		ty = 63072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71300 / 63072 ti = "17/71300/63072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71300/63072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71300 ÷ 217
    71300 ÷ 131072     		x = 0.543975830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63072 ÷ 217
    63072 ÷ 131072     		y = 0.481201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543975830078125 × 2 - 1) × π
    0.08795166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27630829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481201171875 × 2 - 1) × π
    0.03759765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.118116520663818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27630829} λ = 0.27630829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.118116520663818))-π/2
    2×atan(1.12537523319721)-π/2
    2×0.844319575428413-π/2
    1.68863915085683-1.57079632675     		φ = 0.11784282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27630829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.831299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11784282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.751896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71300 KachelY 63072 0.27630829 0.11784282 15.831299 6.751896
    Oben rechts KachelX + 1 71301 KachelY 63072 0.27635623 0.11784282 15.834046 6.751896
    Unten links KachelX 71300 KachelY + 1 63073 0.27630829 0.11779522 15.831299 6.749169
    Unten rechts KachelX + 1 71301 KachelY + 1 63073 0.27635623 0.11779522 15.834046 6.749169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11784282-0.11779522) × R
    4.75999999999949e-05 × 6371000     		dl = 303.259599999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11784282-0.11779522) × R
    4.75999999999949e-05 × 6371000     		dr = 303.259599999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27630829-0.27635623) × cos(0.11784282) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.99306456645326 × 6371000     		do = 303.307480076567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27630829-0.27635623) × cos(0.11779522) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.993070161672777 × 6371000     		du = 303.309189000629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11784282)-sin(0.11779522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99306456645326-0.993070161672777)×R²
    abs(0.27635623-0.27630829)×5.59521951659647e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.59521951659647e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.59521951659647e-06×40589641000000     		ar = 91981.1642262137m²