Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7130 / 9210
↖ ↑ ↗
← N 78.068805°
W140.833740°		 ← 126.27 m → N 78.068805°
W140.828247°		 →
↑
126.27 m
↓
↑
126.27 m
↓
N 78.067669°
W140.833740°		 ← 126.28 m →
15 946 m²		 N 78.067669°
W140.828247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108802795410156 y=0.140541076660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108802795410156 × 216)
    floor (0.108802795410156 × 65536)
    floor (7130.5)     		tx = 7130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140541076660156 × 216)
    floor (0.140541076660156 × 65536)
    floor (9210.5)     		ty = 9210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7130 / 9210 ti = "16/7130/9210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7130/9210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7130 ÷ 216
    7130 ÷ 65536     		x = 0.108795166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9210 ÷ 216
    9210 ÷ 65536     		y = 0.140533447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108795166015625 × 2 - 1) × π
    -0.78240966796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.45801246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140533447265625 × 2 - 1) × π
    0.71893310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25859496249857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45801246} λ = -2.45801246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25859496249857))-π/2
    2×atan(9.56963402181063)-π/2
    2×1.46667700806766-π/2
    2.93335401613532-1.57079632675     		φ = 1.36255769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45801246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.833740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36255769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.068805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7130 KachelY 9210 -2.45801246 1.36255769 -140.833740 78.068805
    Oben rechts KachelX + 1 7131 KachelY 9210 -2.45791659 1.36255769 -140.828247 78.068805
    Unten links KachelX 7130 KachelY + 1 9211 -2.45801246 1.36253787 -140.833740 78.067669
    Unten rechts KachelX + 1 7131 KachelY + 1 9211 -2.45791659 1.36253787 -140.828247 78.067669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36255769-1.36253787) × R
    1.98200000001147e-05 × 6371000     		dl = 126.273220000731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36255769-1.36253787) × R
    1.98200000001147e-05 × 6371000     		dr = 126.273220000731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45801246--2.45791659) × cos(1.36255769) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206736909707236 × 6371000     		do = 126.272376056771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45801246--2.45791659) × cos(1.36253787) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206756301486666 × 6371000     		du = 126.284220318486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36255769)-sin(1.36253787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206736909707236-0.206756301486666)×R²
    abs(-2.45791659--2.45801246)×1.93917794297782e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.93917794297782e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.93917794297782e-05×40589641000000     		ar = 15945.5673290807m²