Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7130 / 3808
↖ ↑ ↗
← N 68.911005°
W 23.334961°		 ← 879.13 m → N 68.911005°
W 23.312988°		 →
↑
879.33 m
↓
↑
879.33 m
↓
N 68.903097°
W 23.334961°		 ← 879.45 m →
773 184 m²		 N 68.903097°
W 23.312988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435211181640625 y=0.232452392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435211181640625 × 214)
    floor (0.435211181640625 × 16384)
    floor (7130.5)     		tx = 7130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232452392578125 × 214)
    floor (0.232452392578125 × 16384)
    floor (3808.5)     		ty = 3808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7130 / 3808 ti = "14/7130/3808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7130/3808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7130 ÷ 214
    7130 ÷ 16384     		x = 0.4351806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3808 ÷ 214
    3808 ÷ 16384     		y = 0.232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4351806640625 × 2 - 1) × π
    -0.129638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40727190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232421875 × 2 - 1) × π
    0.53515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68124294347461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40727190} λ = -0.40727190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68124294347461))-π/2
    2×atan(5.37222920026812)-π/2
    2×1.38676012609572-π/2
    2.77352025219145-1.57079632675     		φ = 1.20272393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40727190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.334961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20272393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.911005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7130 KachelY 3808 -0.40727190 1.20272393 -23.334961 68.911005
    Oben rechts KachelX + 1 7131 KachelY 3808 -0.40688840 1.20272393 -23.312988 68.911005
    Unten links KachelX 7130 KachelY + 1 3809 -0.40727190 1.20258591 -23.334961 68.903097
    Unten rechts KachelX + 1 7131 KachelY + 1 3809 -0.40688840 1.20258591 -23.312988 68.903097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20272393-1.20258591) × R
    0.000138020000000072 × 6371000     		dl = 879.325420000459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20272393-1.20258591) × R
    0.000138020000000072 × 6371000     		dr = 879.325420000459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40727190--0.40688840) × cos(1.20272393) × R
    0.000383500000000037 × 0.359817604079576 × 6371000     		do = 879.134615969223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40727190--0.40688840) × cos(1.20258591) × R
    0.000383500000000037 × 0.359946376440095 × 6371000     		du = 879.449242709074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20272393)-sin(1.20258591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359817604079576-0.359946376440095)×R²
    abs(-0.40688840--0.40727190)×0.000128772360519058×R²
    0.000383500000000037×0.000128772360519058×6371000²
    0.000383500000000037×0.000128772360519058×40589641000000     		ar = 773183.746296123m²