Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71294 / 63062
↖ ↑ ↗
← N  6.779171°
E 15.814819°		 ← 303.23 m → N  6.779171°
E 15.817566°		 →
↑
303.32 m
↓
↑
303.32 m
↓
N  6.776443°
E 15.814819°		 ← 303.23 m →
91 976 m²		 N  6.776443°
E 15.817566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543933868408203 y=0.481128692626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543933868408203 × 217)
    floor (0.543933868408203 × 131072)
    floor (71294.5)     		tx = 71294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481128692626953 × 217)
    floor (0.481128692626953 × 131072)
    floor (63062.5)     		ty = 63062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71294 / 63062 ti = "17/71294/63062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71294/63062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71294 ÷ 217
    71294 ÷ 131072     		x = 0.543930053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63062 ÷ 217
    63062 ÷ 131072     		y = 0.481124877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543930053710938 × 2 - 1) × π
    0.087860107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27602067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481124877929688 × 2 - 1) × π
    0.037750244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.118595889660019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27602067} λ = 0.27602067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.118595889660019))-π/2
    2×atan(1.12591483251636)-π/2
    2×0.844557590894216-π/2
    1.68911518178843-1.57079632675     		φ = 0.11831886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27602067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.814819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11831886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.779171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71294 KachelY 63062 0.27602067 0.11831886 15.814819 6.779171
    Oben rechts KachelX + 1 71295 KachelY 63062 0.27606860 0.11831886 15.817566 6.779171
    Unten links KachelX 71294 KachelY + 1 63063 0.27602067 0.11827125 15.814819 6.776443
    Unten rechts KachelX + 1 71295 KachelY + 1 63063 0.27606860 0.11827125 15.817566 6.776443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11831886-0.11827125) × R
    4.76100000000035e-05 × 6371000     		dl = 303.323310000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11831886-0.11827125) × R
    4.76100000000035e-05 × 6371000     		dr = 303.323310000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27602067-0.27606860) × cos(0.11831886) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.993008485785941 × 6371000     		do = 303.227087026656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27602067-0.27606860) × cos(0.11827125) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.993014104687194 × 6371000     		du = 303.228802825749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11831886)-sin(0.11827125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993008485785941-0.993014104687194)×R²
    abs(0.27606860-0.27602067)×5.61890125283515e-06×R²
    4.79299999999738e-05×5.61890125283515e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×5.61890125283515e-06×40589641000000     		ar = 91976.1039568953m²