Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71291 / 62900
↖ ↑ ↗
← N  7.220800°
E 15.806580°		 ← 302.94 m → N  7.220800°
E 15.809326°		 →
↑
303 m
↓
↑
303 m
↓
N  7.218075°
E 15.806580°		 ← 302.94 m →
91 793 m²		 N  7.218075°
E 15.809326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543910980224609 y=0.479892730712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543910980224609 × 217)
    floor (0.543910980224609 × 131072)
    floor (71291.5)     		tx = 71291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479892730712891 × 217)
    floor (0.479892730712891 × 131072)
    floor (62900.5)     		ty = 62900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71291 / 62900 ti = "17/71291/62900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71291/62900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71291 ÷ 217
    71291 ÷ 131072     		x = 0.543907165527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62900 ÷ 217
    62900 ÷ 131072     		y = 0.479888916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543907165527344 × 2 - 1) × π
    0.0878143310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27587686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479888916015625 × 2 - 1) × π
    0.04022216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.126361667398468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27587686} λ = 0.27587686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.126361667398468))-π/2
    2×atan(1.13469247535683)-π/2
    2×0.848411527591725-π/2
    1.69682305518345-1.57079632675     		φ = 0.12602673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27587686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.806580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12602673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.220800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71291 KachelY 62900 0.27587686 0.12602673 15.806580 7.220800
    Oben rechts KachelX + 1 71292 KachelY 62900 0.27592479 0.12602673 15.809326 7.220800
    Unten links KachelX 71291 KachelY + 1 62901 0.27587686 0.12597917 15.806580 7.218075
    Unten rechts KachelX + 1 71292 KachelY + 1 62901 0.27592479 0.12597917 15.809326 7.218075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12602673-0.12597917) × R
    4.7560000000002e-05 × 6371000     		dl = 303.004760000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12602673-0.12597917) × R
    4.7560000000002e-05 × 6371000     		dr = 303.004760000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27587686-0.27592479) × cos(0.12602673) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.99206913698812 × 6371000     		do = 302.940245570875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27587686-0.27592479) × cos(0.12597917) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.992075113843578 × 6371000     		du = 302.942070675591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12602673)-sin(0.12597917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99206913698812-0.992075113843578)×R²
    abs(0.27592479-0.27587686)×5.97685545733473e-06×R²
    4.79299999999738e-05×5.97685545733473e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×5.97685545733473e-06×40589641000000     		ar = 91792.6129285245m²