Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7129 / 9239
↖ ↑ ↗
← N 78.035827°
W140.839233°		 ← 126.63 m → N 78.035827°
W140.833740°		 →
↑
126.66 m
↓
↑
126.66 m
↓
N 78.034688°
W140.839233°		 ← 126.64 m →
16 039 m²		 N 78.034688°
W140.833740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108787536621094 y=0.140983581542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108787536621094 × 216)
    floor (0.108787536621094 × 65536)
    floor (7129.5)     		tx = 7129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140983581542969 × 216)
    floor (0.140983581542969 × 65536)
    floor (9239.5)     		ty = 9239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7129 / 9239 ti = "16/7129/9239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7129/9239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7129 ÷ 216
    7129 ÷ 65536     		x = 0.108779907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9239 ÷ 216
    9239 ÷ 65536     		y = 0.140975952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108779907226562 × 2 - 1) × π
    -0.782440185546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.45810834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140975952148438 × 2 - 1) × π
    0.718048095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2558146223206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45810834} λ = -2.45810834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2558146223206))-π/2
    2×atan(9.54306413762572)-π/2
    2×1.46638921735694-π/2
    2.93277843471389-1.57079632675     		φ = 1.36198211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45810834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.839233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36198211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.035827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7129 KachelY 9239 -2.45810834 1.36198211 -140.839233 78.035827
    Oben rechts KachelX + 1 7130 KachelY 9239 -2.45801246 1.36198211 -140.833740 78.035827
    Unten links KachelX 7129 KachelY + 1 9240 -2.45810834 1.36196223 -140.839233 78.034688
    Unten rechts KachelX + 1 7130 KachelY + 1 9240 -2.45801246 1.36196223 -140.833740 78.034688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36198211-1.36196223) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dl = 126.655479999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36198211-1.36196223) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dr = 126.655479999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45810834--2.45801246) × cos(1.36198211) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207300020929308 × 6371000     		do = 126.629524588616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45810834--2.45801246) × cos(1.36196223) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207319469043359 × 6371000     		du = 126.641404497867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36198211)-sin(1.36196223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207300020929308-0.207319469043359)×R²
    abs(-2.45801246--2.45810834)×1.94481140512737e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.94481140512737e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.94481140512737e-05×40589641000000     		ar = 16039.0755475405m²