Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7129 / 9229
↖ ↑ ↗
← N 78.047208°
W140.839233°		 ← 126.51 m → N 78.047208°
W140.833740°		 →
↑
126.53 m
↓
↑
126.53 m
↓
N 78.046071°
W140.839233°		 ← 126.52 m →
16 008 m²		 N 78.046071°
W140.833740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108787536621094 y=0.140830993652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108787536621094 × 216)
    floor (0.108787536621094 × 65536)
    floor (7129.5)     		tx = 7129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140830993652344 × 216)
    floor (0.140830993652344 × 65536)
    floor (9229.5)     		ty = 9229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7129 / 9229 ti = "16/7129/9229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7129/9229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7129 ÷ 216
    7129 ÷ 65536     		x = 0.108779907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9229 ÷ 216
    9229 ÷ 65536     		y = 0.140823364257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108779907226562 × 2 - 1) × π
    -0.782440185546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.45810834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140823364257812 × 2 - 1) × π
    0.718353271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.256773360313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45810834} λ = -2.45810834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.256773360313))-π/2
    2×atan(9.55221782307023)-π/2
    2×1.46648854397313-π/2
    2.93297708794626-1.57079632675     		φ = 1.36218076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45810834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.839233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36218076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.047208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7129 KachelY 9229 -2.45810834 1.36218076 -140.839233 78.047208
    Oben rechts KachelX + 1 7130 KachelY 9229 -2.45801246 1.36218076 -140.833740 78.047208
    Unten links KachelX 7129 KachelY + 1 9230 -2.45810834 1.36216090 -140.839233 78.046071
    Unten rechts KachelX + 1 7130 KachelY + 1 9230 -2.45801246 1.36216090 -140.833740 78.046071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36218076-1.36216090) × R
    1.98600000000937e-05 × 6371000     		dl = 126.528060000597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36218076-1.36216090) × R
    1.98600000000937e-05 × 6371000     		dr = 126.528060000597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45810834--2.45801246) × cos(1.36218076) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207105682031815 × 6371000     		do = 126.510812385461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45810834--2.45801246) × cos(1.36216090) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207125111397893 × 6371000     		du = 126.522680842485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36218076)-sin(1.36216090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207105682031815-0.207125111397893)×R²
    abs(-2.45801246--2.45810834)×1.9429366078183e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.9429366078183e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.9429366078183e-05×40589641000000     		ar = 16007.9185069502m²