Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7129 / 4951
↖ ↑ ↗
← N 77.256902°
W101.678467°		 ← 269.46 m → N 77.256902°
W101.667481°		 →
↑
269.43 m
↓
↑
269.43 m
↓
N 77.254479°
W101.678467°		 ← 269.51 m →
72 606 m²		 N 77.254479°
W101.667481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.217575073242188 y=0.151107788085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.217575073242188 × 215)
    floor (0.217575073242188 × 32768)
    floor (7129.5)     		tx = 7129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151107788085938 × 215)
    floor (0.151107788085938 × 32768)
    floor (4951.5)     		ty = 4951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7129 / 4951 ti = "15/7129/4951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7129/4951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7129 ÷ 215
    7129 ÷ 32768     		x = 0.217559814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4951 ÷ 215
    4951 ÷ 32768     		y = 0.151092529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.217559814453125 × 2 - 1) × π
    -0.56488037109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.77462402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151092529296875 × 2 - 1) × π
    0.69781494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19225029342441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77462402} λ = -1.77462402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19225029342441))-π/2
    2×atan(8.95534260615322)-π/2
    2×1.45959182083811-π/2
    2.91918364167622-1.57079632675     		φ = 1.34838731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77462402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.678467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34838731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.256902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7129 KachelY 4951 -1.77462402 1.34838731 -101.678467 77.256902
    Oben rechts KachelX + 1 7130 KachelY 4951 -1.77443228 1.34838731 -101.667481 77.256902
    Unten links KachelX 7129 KachelY + 1 4952 -1.77462402 1.34834502 -101.678467 77.254479
    Unten rechts KachelX + 1 7130 KachelY + 1 4952 -1.77443228 1.34834502 -101.667481 77.254479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34838731-1.34834502) × R
    4.22899999998894e-05 × 6371000     		dl = 269.429589999295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34838731-1.34834502) × R
    4.22899999998894e-05 × 6371000     		dr = 269.429589999295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77462402--1.77443228) × cos(1.34838731) × R
    0.000191739999999996 × 0.220579940920063 × 6371000     		do = 269.455060442588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77462402--1.77443228) × cos(1.34834502) × R
    0.000191739999999996 × 0.220621189073553 × 6371000     		du = 269.505448177962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34838731)-sin(1.34834502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220579940920063-0.220621189073553)×R²
    abs(-1.77443228--1.77462402)×4.12481534902975e-05×R²
    0.000191739999999996×4.12481534902975e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.12481534902975e-05×40589641000000     		ar = 72605.9544426264m²