Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71288 / 95960
↖ ↑ ↗
← S 63.811592°
E 15.798340°		 ← 134.76 m → S 63.811592°
E 15.801086°		 →
↑
134.75 m
↓
↑
134.75 m
↓
S 63.812804°
E 15.798340°		 ← 134.76 m →
18 159 m²		 S 63.812804°
E 15.801086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543888092041016 y=0.732120513916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543888092041016 × 217)
    floor (0.543888092041016 × 131072)
    floor (71288.5)     		tx = 71288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732120513916016 × 217)
    floor (0.732120513916016 × 131072)
    floor (95960.5)     		ty = 95960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71288 / 95960 ti = "17/71288/95960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71288/95960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71288 ÷ 217
    71288 ÷ 131072     		x = 0.54388427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95960 ÷ 217
    95960 ÷ 131072     		y = 0.73211669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54388427734375 × 2 - 1) × π
    0.0877685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27573305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73211669921875 × 2 - 1) × π
    -0.4642333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45843223404059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27573305} λ = 0.27573305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45843223404059))-π/2
    2×atan(0.23260065241065)-π/2
    2×0.228536970523249-π/2
    0.457073941046497-1.57079632675     		φ = -1.11372239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27573305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.798340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11372239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.811592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71288 KachelY 95960 0.27573305 -1.11372239 15.798340 -63.811592
    Oben rechts KachelX + 1 71289 KachelY 95960 0.27578098 -1.11372239 15.801086 -63.811592
    Unten links KachelX 71288 KachelY + 1 95961 0.27573305 -1.11374354 15.798340 -63.812804
    Unten rechts KachelX + 1 71289 KachelY + 1 95961 0.27578098 -1.11374354 15.801086 -63.812804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11372239--1.11374354) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dl = 134.746650000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11372239--1.11374354) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dr = 134.746650000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27573305-0.27578098) × cos(-1.11372239) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.441324303957781 × 6371000     		do = 134.763685344968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27573305-0.27578098) × cos(-1.11374354) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.441305324955644 × 6371000     		du = 134.757889878348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11372239)-sin(-1.11374354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441324303957781-0.441305324955644)×R²
    abs(0.27578098-0.27573305)×1.89790021369873e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.89790021369873e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.89790021369873e-05×40589641000000     		ar = 18158.5646827503m²