Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71285 / 63056
↖ ↑ ↗
← N  6.795535°
E 15.790100°		 ← 303.22 m → N  6.795535°
E 15.792847°		 →
↑
303.26 m
↓
↑
303.26 m
↓
N  6.792808°
E 15.790100°		 ← 303.22 m →
91 954 m²		 N  6.792808°
E 15.792847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543865203857422 y=0.481082916259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543865203857422 × 217)
    floor (0.543865203857422 × 131072)
    floor (71285.5)     		tx = 71285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481082916259766 × 217)
    floor (0.481082916259766 × 131072)
    floor (63056.5)     		ty = 63056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71285 / 63056 ti = "17/71285/63056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71285/63056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71285 ÷ 217
    71285 ÷ 131072     		x = 0.543861389160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63056 ÷ 217
    63056 ÷ 131072     		y = 0.4810791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543861389160156 × 2 - 1) × π
    0.0877227783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27558924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4810791015625 × 2 - 1) × π
    0.037841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.118883511057739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27558924} λ = 0.27558924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.118883511057739))-π/2
    2×atan(1.12623871628992)-π/2
    2×0.844700393712463-π/2
    1.68940078742493-1.57079632675     		φ = 0.11860446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27558924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.790100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11860446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.795535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71285 KachelY 63056 0.27558924 0.11860446 15.790100 6.795535
    Oben rechts KachelX + 1 71286 KachelY 63056 0.27563717 0.11860446 15.792847 6.795535
    Unten links KachelX 71285 KachelY + 1 63057 0.27558924 0.11855686 15.790100 6.792808
    Unten rechts KachelX + 1 71286 KachelY + 1 63057 0.27563717 0.11855686 15.792847 6.792808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11860446-0.11855686) × R
    4.75999999999949e-05 × 6371000     		dl = 303.259599999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11860446-0.11855686) × R
    4.75999999999949e-05 × 6371000     		dr = 303.259599999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27558924-0.27563717) × cos(0.11860446) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.992974732210316 × 6371000     		do = 303.216779966283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27558924-0.27563717) × cos(0.11855686) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.992980363430934 × 6371000     		du = 303.218499527242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11860446)-sin(0.11855686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992974732210316-0.992980363430934)×R²
    abs(0.27563717-0.27558924)×5.63122061802979e-06×R²
    4.79299999999738e-05×5.63122061802979e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×5.63122061802979e-06×40589641000000     		ar = 91953.6601598896m²