Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71285 / 62882
↖ ↑ ↗
← N  7.269843°
E 15.790100°		 ← 302.91 m → N  7.269843°
E 15.792847°		 →
↑
302.94 m
↓
↑
302.94 m
↓
N  7.267119°
E 15.790100°		 ← 302.91 m →
91 763 m²		 N  7.267119°
E 15.792847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543865203857422 y=0.479755401611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543865203857422 × 217)
    floor (0.543865203857422 × 131072)
    floor (71285.5)     		tx = 71285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479755401611328 × 217)
    floor (0.479755401611328 × 131072)
    floor (62882.5)     		ty = 62882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71285 / 62882 ti = "17/71285/62882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71285/62882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71285 ÷ 217
    71285 ÷ 131072     		x = 0.543861389160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62882 ÷ 217
    62882 ÷ 131072     		y = 0.479751586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543861389160156 × 2 - 1) × π
    0.0877227783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27558924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479751586914062 × 2 - 1) × π
    0.040496826171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.127224531591629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27558924} λ = 0.27558924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.127224531591629))-π/2
    2×atan(1.1356719833945)-π/2
    2×0.848839514797889-π/2
    1.69767902959578-1.57079632675     		φ = 0.12688270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27558924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.790100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12688270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.269843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71285 KachelY 62882 0.27558924 0.12688270 15.790100 7.269843
    Oben rechts KachelX + 1 71286 KachelY 62882 0.27563717 0.12688270 15.792847 7.269843
    Unten links KachelX 71285 KachelY + 1 62883 0.27558924 0.12683515 15.790100 7.267119
    Unten rechts KachelX + 1 71286 KachelY + 1 62883 0.27563717 0.12683515 15.792847 7.267119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12688270-0.12683515) × R
    4.75499999999796e-05 × 6371000     		dl = 302.94104999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12688270-0.12683515) × R
    4.75499999999796e-05 × 6371000     		dr = 302.94104999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27558924-0.27563717) × cos(0.12688270) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.991961183796241 × 6371000     		do = 302.907280765058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27558924-0.27563717) × cos(0.12683515) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.99196719977174 × 6371000     		du = 302.909117815549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12688270)-sin(0.12683515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991961183796241-0.99196719977174)×R²
    abs(0.27563717-0.27558924)×6.01597549942934e-06×R²
    4.79299999999738e-05×6.01597549942934e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×6.01597549942934e-06×40589641000000     		ar = 91763.3279638697m²