Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71284 / 63057
↖ ↑ ↗
← N  6.792808°
E 15.787354°		 ← 303.28 m → N  6.792808°
E 15.790100°		 →
↑
303.26 m
↓
↑
303.26 m
↓
N  6.790080°
E 15.787354°		 ← 303.28 m →
91 973 m²		 N  6.790080°
E 15.790100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543857574462891 y=0.481090545654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543857574462891 × 217)
    floor (0.543857574462891 × 131072)
    floor (71284.5)     		tx = 71284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481090545654297 × 217)
    floor (0.481090545654297 × 131072)
    floor (63057.5)     		ty = 63057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71284 / 63057 ti = "17/71284/63057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71284/63057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71284 ÷ 217
    71284 ÷ 131072     		x = 0.543853759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63057 ÷ 217
    63057 ÷ 131072     		y = 0.481086730957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543853759765625 × 2 - 1) × π
    0.08770751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27554130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481086730957031 × 2 - 1) × π
    0.0378265380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.118835574158119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27554130} λ = 0.27554130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.118835574158119))-π/2
    2×atan(1.12618472919162)-π/2
    2×0.844676593579942-π/2
    1.68935318715988-1.57079632675     		φ = 0.11855686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27554130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.787354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11855686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.792808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71284 KachelY 63057 0.27554130 0.11855686 15.787354 6.792808
    Oben rechts KachelX + 1 71285 KachelY 63057 0.27558924 0.11855686 15.790100 6.792808
    Unten links KachelX 71284 KachelY + 1 63058 0.27554130 0.11850926 15.787354 6.790080
    Unten rechts KachelX + 1 71285 KachelY + 1 63058 0.27558924 0.11850926 15.790100 6.790080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11855686-0.11850926) × R
    4.75999999999949e-05 × 6371000     		dl = 303.259599999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11855686-0.11850926) × R
    4.75999999999949e-05 × 6371000     		dr = 303.259599999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27554130-0.27558924) × cos(0.11855686) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.992980363430934 × 6371000     		do = 303.281762306514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27554130-0.27558924) × cos(0.11850926) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.992985992401697 × 6371000     		du = 303.283481539075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11855686)-sin(0.11850926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992980363430934-0.992985992401697)×R²
    abs(0.27558924-0.27554130)×5.62897076272773e-06×R²
    4.79400000000241e-05×5.62897076272773e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×5.62897076272773e-06×40589641000000     		ar = 91973.3666286113m²