Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71283 / 95962
↖ ↑ ↗
← S 63.814017°
E 15.784607°		 ← 134.78 m → S 63.814017°
E 15.787354°		 →
↑
134.75 m
↓
↑
134.75 m
↓
S 63.815228°
E 15.784607°		 ← 134.77 m →
18 161 m²		 S 63.815228°
E 15.787354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543849945068359 y=0.732135772705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543849945068359 × 217)
    floor (0.543849945068359 × 131072)
    floor (71283.5)     		tx = 71283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732135772705078 × 217)
    floor (0.732135772705078 × 131072)
    floor (95962.5)     		ty = 95962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71283 / 95962 ti = "17/71283/95962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71283/95962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71283 ÷ 217
    71283 ÷ 131072     		x = 0.543846130371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95962 ÷ 217
    95962 ÷ 131072     		y = 0.732131958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543846130371094 × 2 - 1) × π
    0.0876922607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27549336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732131958007812 × 2 - 1) × π
    -0.464263916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45852810783983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27549336} λ = 0.27549336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45852810783983))-π/2
    2×atan(0.232578353171371)-π/2
    2×0.228515815714223-π/2
    0.457031631428446-1.57079632675     		φ = -1.11376470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27549336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.784607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11376470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.814017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71283 KachelY 95962 0.27549336 -1.11376470 15.784607 -63.814017
    Oben rechts KachelX + 1 71284 KachelY 95962 0.27554130 -1.11376470 15.787354 -63.814017
    Unten links KachelX 71283 KachelY + 1 95963 0.27549336 -1.11378585 15.784607 -63.815228
    Unten rechts KachelX + 1 71284 KachelY + 1 95963 0.27554130 -1.11378585 15.787354 -63.815228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11376470--1.11378585) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dl = 134.746650000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11376470--1.11378585) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dr = 134.746650000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27549336-0.27554130) × cos(-1.11376470) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.441286336782438 × 6371000     		do = 134.780205963577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27549336-0.27554130) × cos(-1.11378585) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.441267357385405 × 6371000     		du = 134.774409167193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11376470)-sin(-1.11378585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441286336782438-0.441267357385405)×R²
    abs(0.27554130-0.27549336)×1.89793970333807e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.89793970333807e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.89793970333807e-05×40589641000000     		ar = 18160.7906912779m²