Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71283 / 95849
↖ ↑ ↗
← S 63.676724°
E 15.784607°		 ← 135.44 m → S 63.676724°
E 15.787354°		 →
↑
135.38 m
↓
↑
135.38 m
↓
S 63.677941°
E 15.784607°		 ← 135.43 m →
18 336 m²		 S 63.677941°
E 15.787354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543849945068359 y=0.731273651123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543849945068359 × 217)
    floor (0.543849945068359 × 131072)
    floor (71283.5)     		tx = 71283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731273651123047 × 217)
    floor (0.731273651123047 × 131072)
    floor (95849.5)     		ty = 95849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71283 / 95849 ti = "17/71283/95849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71283/95849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71283 ÷ 217
    71283 ÷ 131072     		x = 0.543846130371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95849 ÷ 217
    95849 ÷ 131072     		y = 0.731269836425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543846130371094 × 2 - 1) × π
    0.0876922607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27549336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731269836425781 × 2 - 1) × π
    -0.462539672851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.45311123818276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27549336} λ = 0.27549336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45311123818276))-π/2
    2×atan(0.233841618177553)-π/2
    2×0.229713919449027-π/2
    0.459427838898054-1.57079632675     		φ = -1.11136849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27549336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.784607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11136849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.676724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71283 KachelY 95849 0.27549336 -1.11136849 15.784607 -63.676724
    Oben rechts KachelX + 1 71284 KachelY 95849 0.27554130 -1.11136849 15.787354 -63.676724
    Unten links KachelX 71283 KachelY + 1 95850 0.27549336 -1.11138974 15.784607 -63.677941
    Unten rechts KachelX + 1 71284 KachelY + 1 95850 0.27554130 -1.11138974 15.787354 -63.677941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11136849--1.11138974) × R
    2.12499999998617e-05 × 6371000     		dl = 135.383749999119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11136849--1.11138974) × R
    2.12499999998617e-05 × 6371000     		dr = 135.383749999119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27549336-0.27554130) × cos(-1.11136849) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.443435346056761 × 6371000     		do = 135.436568711454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27549336-0.27554130) × cos(-1.11138974) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.443416299446459 × 6371000     		du = 135.430751386408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11136849)-sin(-1.11138974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443435346056761-0.443416299446459)×R²
    abs(0.27554130-0.27549336)×1.90466103021092e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90466103021092e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90466103021092e-05×40589641000000     		ar = 18335.5167743621m²